называемому уравнением Эйлера.
Это — дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции x (t ). Необходимое условие dJ = 0 может быть применено в ряде случаев для эффективного отыскания решения вариационной задачи, поскольку функция x (t ) необходимо должна быть решением краевой задачи x (to ) = xo , x (T ) = xT для уравнения (4). Если найдено это решение и оно единственно, то найдено тем самым и решение исходной вариационной задачи. Если краевая задача допускает несколько решений, то достаточно вычислить значение функционала для каждого из решений краевой задачи и выбрать из них то, которому отвечает наименьшее значение J (x ). Однако указанный путь обладает одним существенным недостатком: не существует универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений.
Уже во 2-й половине 18 в. круг задач, изучаемых В. и., значительно расширился. Прежде всего основные результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., были перенесены на общий случай интегральных функционалов вида
где x (t ) — вектор-функция произвольной размерности, и на функционалы ещё более общего вида.
Условный экстремум. Задача Лагранжа. В конце 18 в. был сформулирован ряд задач на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания функции x (t ), доставляющей экстремум функционалу J (x ) при каких-либо дополнительных условиях, кроме условий на концах интервала (t0 , T). Простейшей задачей подобного вида является класс так называемых изопериметрических задач . Своим названием этот класс задач обязан следующей: среди всех замкнутых кривых данной длины найти ту, которая ограничивает максимальную площадь.
Значительно более сложной задачей является та, в которой ограничения носят характер дифференциальных уравнений. Эту задачу называют задачей Лагранжа; особое значение она приобрела в середине 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления . Поэтому её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.
Пусть x (t) и u (t) — вектор-функции размерностей n и m соответственно, причём функция x (t ), которую называют фазовым вектором, при t = to и t = T удовлетворяет граничным условиям:
x (t0 ) Î e0 , x (T) Î eT (5)
где e0 и eT — некоторые множества. Простейшим примером условий типа (5) являются условия (2). Функция x (t ) и функция u (t ), которую называют управлением, связаны условием
dx/dt = f (x, u, t), (6)
где f — дифференцируемая вектор-функция своих аргументов. Рассматриваемая задача состоит в следующем: определить функции x (t ) и u (t ), доставляющие экстремум функционалу
Заметим, что и простейшая задача В. и. и изопериметрическая задача являются частным случаем задачи Лагранжа.
Задача Лагранжа имеет огромное прикладное значение. Пусть, например, уравнение (6) описывает движение какого-либо динамического объекта, например космического корабля. Управление u — это вектор тяги его двигателя. Множества e0 и eT — это две орбиты разных радиусов. Функционал (7) описывает расход горючего на выполнение маневра. Следовательно, задачу Лагранжа, применительно к данной ситуации, можно сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космического аппарата, совершающего переход с орбиты e0 на орбиту eT за заданное время так, чтобы расход топлива на этот маневр был минимальным.
Важную роль в теории подобных задач играет функция Гамильтона
H (x, y, u) = (f, y) - F.
Здесь y — вектор, называется множителем Лагранжа (или импульсом), (f, y) означает скалярное произведение векторов f и y . Необходимое условие в задаче Лагранжа формулируется следующим образом: для того чтобы функции и были решением задачи Лагранжа, необходимо, чтобы была стационарной точкой функции Гамильтона Н (х, y, u), то есть, чтобы при
было ¶H/ ¶u = 0, где y — не равное тождественно нулю решение уравнения
¶y/t = —¶H/¶x = j(x, y, u, t). (8)
Эта теорема имеет важное прикладное значение, так как она открывает известные возможности для фактического нахождения векторов x (t ) и u (t ).
Развитие В. и. в 19 в. Основные усилия математиков в 19 в. были направлены на исследование условий, необходимых или достаточных для того, чтобы функция x (t ) реализовала экстремум функционала J (x ). уравнение Эйлера было первым из таких условий; оно аналогично необходимому условию
которое устанавливается в теории функций конечного числа переменных. Однако в этой теории известны ещё и другие условия. Например, для того, чтобы функция f (x ) имела в точке минимум, необходимо, чтобы в этой точке было
каков бы ни был произвольный вектор h. Естественно поставить вопрос: в какой степени эти результаты переносятся на случай функционалов? Для того чтобы представить себе сложность, которая здесь возникает, заметим, что функция может реализовать минимум среди функций одного класса и не давать минимум среди функций другого класса и т.д.
Подобные вопросы послужили источником разнообразных и глубоких исследований А. Лежандра , К. Якоби , М. В. Остроградского , У. Гамильтона , К. Вейерштрасса и многих других. Эти исследования не только обогатили математический анализ, но и сыграли большую роль в формировании идей аналитической механики и оказали серьезное влияние на развитие разнообразных отделов теоретической физики.
Развитие В. и. в 20 в. В 20 в. возник целый ряд новых направлений В. и., связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов математики и вычислительной техники. Одно из основных направлений развития В. и. в 20 в. — рассмотрение неклассических задач В. и., приведшее к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина.
Рассмотрим снова задачу Лагранжа: определить минимум функционала
при условии
фазовый вектор x (t ) должен удовлетворять ещё некоторым граничным условиям.
В своей классической постановке условия задачи Лагранжа не предусматривают никаких ограничений на управление u (t ). Выше (см. раздел Условный экстремум. Задача Лагранжа) подчёркивалась тесная связь между задачей Лагранжа и задачей управления. В рассмотренном там примере u (t ) — тяга ракетного двигателя. Эта величина подчинена ограничениям: тяга двигателя не может превосходить некоторой величины, и угол поворота вектора тяги также ограничен. В данном конкретном примере компонента ui (i = 1,2,3) вектора тяги двигателя подчинена ограничениям
где а- i и a+ i — некоторые заданные числа. Подобных примеров можно привести много.
Таким образом, в технике появилось много задач, которые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнительных ограничениях типа (10), записываемых в форме u Î Gu , где Gu — некоторое множество, которое, в частности, может быть замкнутым. Такие задачи получили название задач оптимального управления. В задаче Лагранжа можно исключить управление u (t ) при помощи уравнения (8) и получить систему уравнений, которая содержит только фазовую переменную х и множитель Лагранжа j . Для теории оптимального управления должен был быть разработан специальный аппарат. Эти исследования привели к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина. Он может быть сформулирован в форме следующей теоремы: для того чтобы функции и были решением задачи оптимального управления чтобы они доставляли минимум функционалу (9)], необходимо, чтобы u (t ) доставляла максимум функции Гамильтона