по-своему использовать для сжатого описания диалектики множеств (начиная, следуя традиции, с аспектов
многое как целое и
целое как многое) с тем, чтобы одновременно и без особого промедления получить типологию бесконечности. На этом пути уже сама наша тема властно потребует также рассмотреть аспекты
малое как целое и, конечно,
целое как малое.
Перечислим сначала подходы к бесконечности (целому) как многому, т.е. рассмотрим их на базе бинарной формы целое многое (для краткости и без ущерба для смысла уберем «как» в наших формах), а именно:
a) целое многое – бесконечность, в которой представлена только сторона неограниченного роста, умножения, увеличения, известная в истории мысли под названием потенциальной бесконечности; подчеркнем (для примера и потому только в этом эпизоде повествования) момент технического порядка в разъяснение принятой здесь и далее системы нотации – говоря о данном типе бесконечности, мы делаем упор («логическое ударение», по выражению Лосева) на втором члене нашей бинарной формы;
b) целое многое – бесконечность, при всей ее неограниченности в смысле (а) рассмотренная именно как нечто цельное, как определенно данное, т.е. актуальная бесконечность; заметим, что в принятых у нас обозначениях наглядно зафиксировано известное наблюдение К. Гутберлета о тесной связи потенциальной и актуальной бесконечности 6 – здесь два вида бесконечности предстают как разные аспекты одного и того же объекта;
c) попеременная комбинация представлений о бесконечности в понимании (а) и понимании (b) – именно этим приемом воспользовался Кантор в своем учении о бесконечной (точнее, потенциально бесконечной) иерархии актуальных бесконечностей אi; из нашей системы обозначений данная комбинация «выпадает», поскольку она не является логически последовательной (Лосев сказал бы, наверное, что она не имеет диалектически законченного вида), ибо ниоткуда не следует, например, что вся иерархия бесконечностей не может быть актуальна, завершена, финальна;
d) целое многое – тип бесконечности при диалектическом объединении понимания (а) и понимания (b), когда в отличие от предыдущего случая (с), иерархия актуальных бесконечностей здесь замыкается (ограничивается сверху) абсолютом Ω; к утверждению такой возможности в пору кризиса теории множеств пришел и Кантор, явно через силу и с пересмотром своих прежних убеждений – но вполне в духе диалектической антиномики, – заговоривший в переписке с Дедекиндом о т.н. неконсистентных системах, т.е. множествах, не являющихся единствами 7.
Рассмотрение аспекта многое логически исчерпано. Однако бесконечность встречается, как известно, не только на пути количественного роста и увеличения, но и в противоположном направлении. Следовательно, для нас настал черед нового аспекта: перечислим теперь подходы к бесконечности (целому) как малому, т.е. рассмотрим их на базе бинарной формы малое целое. При этом необходимо продолжить сквозное перечисление возможных типов бесконечности, начатое выше под рубрикой многое. И еще сразу же оговорим, что в используемой далее бинарной форме мы сознательно поменяли порядок образующих ее членов, что совершенно безразлично для ближайших типологий, но понадобится нам в дальнейшем. Итак, малое целое в развертывании по типам бесконечности представимо, на наш взгляд, следующим образом:
e) малое целое – бесконечность, в которой представлена только сторона неограниченного умаления, сокращения, уменьшения и которая известна в истории мысли под названием нуля как предела; после О. Коши в виде бесконечно-малого данный тип бесконечности вошел в основания (стандартного) математического анализа;
f) малое целое – такое бесконечно-малое, т.е. такая бесконечность, которая при всем своем неограниченном уменьшении предстает именно как нечто фиксированное, как определенно данное, т.е. актуальное бесконечно-малое; данный тип бесконечности составляет основу с недавних пор (работы А. Робинсона в 60-х гг. XX века) развитого нестандартного или неархимедова анализа;
g) комбинация представлений о бесконечно-малом в понимании (е) и понимании (f) – бесконечная, точнее, потенциально бесконечная иерархия актуально бесконечно-малых; введена здесь по аналогии с типом бесконечности (с) и, насколько нам известно, в математике специально не рассматривалась;
h) малое целое – построенное по аналогии с типом (d) представление бесконечности при диалектическом объединении понимания (е) и понимания (f), когда всякие бесконечно-малые не только образуют иерархию, но и замыкаются (ограничиваются снизу) величиной 0i – нулем данного i-ого числового класса 8; завершенные иерархии актуально бесконечно-малых, кажется, также еще не явились предметом специальных исследований.
Отметим, бросая общий взгляд на полученный перечень, следующие важные обстоятельства. Прежде всего, нетрудно обнаружить, что кратко рассмотренные у нас точки зрения на бесконечность отнюдь не равноправны между собой. Так, из восьми возможных подходов шесть носят явно промежуточный, подготовительный характер, выступая в качестве того или иного этапа на пути к зрелому – во всяком случае, логически более зрелому – представлению о бесконечности. Интегральными же и итоговыми (каждая в «своей» области) являются представления вида (d) и (h). С другой стороны, приходится констатировать, что к настоящему времени получили развитие далеко не все точки зрения, причем менее разработанными, в частности, в математике оказываются как раз синтетические, итоговые подходы, особенно и прежде всего в позициях (h) и в значительной мере (d). Далее. Если не выходить, напомним нашу исходную посылку, за пределы сферы S+, а в последней ограничиваться лишь описательной стороной дела и не претендовать на развернутые формальные построения, наша классификация в некоторой мере по-новому проясняет и детализирует представления о бесконечности. Вместе с тем в данном пункте она выступает – это важно зафиксировать специально – в тесном союзе с подходом, который уже достаточно давно был развит в «Диалектических основах математики» Лосева. Конструкция бесконечного как диалектического синтеза целого и дробного, данная на страницах этой книги 9, в наших терминах, можно сказать, лишь несколько уточняется по двум направлениям – дробного как малого (присутствует в бинарной форме малое целое), если специально выделять аспект убывающей величины дробимой части, и дробного как многого (в бинарной форме целое многое), если специально выделять аспект возрастающего количества дробимых частей.
Еще раз обратившись к нашему перечню, мы можем выделить три типа бесконечности как таковой, т.е. бесконечности актуальной, и этим типам присвоить наименования определенно унифицирующего характера, прибегнув еще к услугам некоторого рода оксюморона, ибо для характеристик необычного мира бесконечности будет применена соотносительная терминология, почерпнутая из мира конечных величин и потому в определенной мере привычная для обыденного сознания. Итак, предлагается различать следующие типы бесконечности:
Ω – абсолют, или актуально бесконечное большое;
אi– иерархия алефов, или актуально бесконечных средних;
0i – иерархия нулей, или актуально бесконечных малых.
Актуально бесконечное большое предстает здесь единственным, актуально бесконечных средних и малых – бесконечно много, в соответствии с результатами теории трансфинитных чисел (в рамках теории множеств) и нестандартного анализа, соответственно. Попробуем, однако, задаться вопросом, возможна ли теория, в