а = {а0, ?a}; а0 ? A0; ?a ? ?a; А = {A0, ?a};
e = { e0, ?е }; e0 ? E0; ?е ? ?e; E= { E0, ?e};
В качестве обобщения сформулируем следующий результат.
Теорема 4.4.6. Элементы а, е (а ? А, е ? Е) и элементарные процессы в, d (в ? В, d ? D) в модели системы S разложимы на части, образующие структуры Ca, Ce и процессы Рa, Ре основной Sa и дополнительной Sе систем.
Следуя доказанному, сформулируем следующие результаты.
Системный процесс достижения цели Рa представит собой объединения элементарных процессов достижения цели в0 и процессов обеспечения ограничений на допустимое изменение результатов элементарных процессов достижения цели ?d при передаче результатов одного элементарного процесса достижения цели к другому. Отсюда следует, что
Модель основного системного процесса Рa имеет вид:
Рa = < { B0, ?d }, W, ?p >.
Системный процесс взаимодействия, в свою очередь, представит собой объединение элементарных процессов взаимодействия dо и процессов обеспечения ограничений на допустимое изменение характеристик взаимодействия ?в при «передаче взаимодействия» через процессы достижения цели. Отсюда следует, что
Модель дополнительного системного процесса Ре имеет вид:
Ре =< { D0, ?a }, W, ?p >.
Следуя (4.4.7) и (4.4.8), можно сформулировать следующие определения структур.
Модель основной системной структуры Ca имеет вид:
Ca = < { A0, ?e }, W, ?c >.
Модель дополнительной системной структуры Сe имеет вид:
Сe = < {?a, E0 }, W, ?c >.
• Исходя из (4.4.4), где доказано, что система – это объединение процесса и структуры, определим основную и дополнительную системы.
Модель основной системы Sa имеет вид:
Sa = <{Pa, Ca }, W, ?>; Sa = <{A0, B0, ?d, ?e}, W,?>
Модель дополнительной системы Se имеет вид:
Se= <{Pe, Ce}, W, ?>; Se = <{?a, ?в, D0, E0}, W, ?>
Другими словами, полная система S — это объединение полного системного процесса Р и полной системной структуры С, основная система Sa — это объединение системного процесса достижения цели Pa и структуры для его реализации Сa, а дополнительная система Se — это объединение системного процесса взаимодействия Pe и структуры для его реализации Ce.
На основании этого можно получить следующие модели:
C = < {A0, ?a, E0, ?e,}, W, ?c >,
P = < {В0, ?в, D0, ?d }, W, ?р >.
В полученных математических моделях разделены полные, основные и дополнительные системные объекты: системы, процессы, структуры, элементы и элементарные процессы.
• Элементарная система, элементарная структура и элементарный процесс. Элементы а, е представляют собой, по сути, элементарные структуры, а в сочетании с элементарными процессами они образуют элементарные системы – элементарные целенаправленные системы sa и элементарные системы взаимодействия se:
sa= < {а, b }, ?, ?, ?0 >; sa = < a ? b, ?, ?0 >;
se= < { e, d }, ?, ?, ?0 >; se = < e ? d, ?, ?0 >.
Каждая i-ая система sai образует с некоторой системой seij элементарную полную систему sij, реализующую элементарную часть системного процесса достижения цели (т.е. реализующую преобразование предмета труда, начиная от момента поступления его на вход элемента аi и кончая моментом поступления его на вход элемента aj):
sij=sai ? seij; sij= <{ai, bi, eij, dij}, wi, wij, фi, фij >,
где wi, wij, фi, фij определяют операции и отношения на множестве-носителе системы sij, напр., операции ?, ? и отношения ?, ? и др. Число систем sij равно числу элементов aj, со входами которых соединен выход элемента ai.
Цель fij, реализуемая системой sij, будет состоять из двух компонентов: цели fi, описывающей изменение параметров перерабатываемого ресурса в целенаправленной части sai системы sij и изменения ?ijfi происходящего во взаимодействующей части seij при транспортировании или складировании предмета труда до момента поступления на вход aj :
fij = { fi, ?ijfi }
Очевидно, что система sij имеет общую часть sai с каждой системой sik.
Теорема 4.4.7. Система sij разложима на cистемы: основную целенаправленную saij и дополнительную seij:
sij= saij ? seij;
saij= < { ai0, bi0, ?еij, ?aij }, wj, wy, фi, фij >;
seij = < {?ai, ?вi, dij0, eij0 }, wj, wy, фi, фij >.
Справедливость (4.4.16) очевидна из предыдущего изложения.
Теорема 4.4.8. Модели полной, основной и дополнительной систем S, Sa, Sе представляют собой теоретико-множественные объединения элементарных систем sij, sаij, sеij:
S = < ? sij, W, ? >;
Sa = <? sаij, W, ? >;
Se = <? sеij, W, ?>.
• В результате теоретико-множественного объединения sij, sаij, sеij сформируются множества-носители систем S, Sa, Se и, кроме того, объединение множества операций и отношений W' и ?', определенных на элементарных системах:
S = < { А, В, D, Е }, W', ?', W0, ?0 >,
Sa = < { A0, B0, ?d, ?e }, W', ?', W0, ?0 >,
Se = < {?a, ?в, D0, E0 }, W', ?', W0, ?0 >.
Множества операций W0 и предикатов ?0 формируются в процессе создания систем S, Sa, Se из элементарных систем: вводится отношение порядка ?, определяется набор предикатов и соответствующие отношения на множестве-носителе, отвечающие выбранным предикатам и т.д. В результате формируются множества W и ? систем S, Sа, Se: W=W' ? W0, ? = ?' ? ?0 и модели S, Sа, Se приводятся к виду (4.4.1).
• Изоморфизм и декомпозиция моделей. Изоморфизмом системы S на системы Sа, Se и др. будет взаимнооднозначное отображение множества-носителя системы S на множества-носители систем Sа, Se и др., сохраняющее главные операции и предикаты модели (4.4.1).
Изоморфизм рассмотрим на графовых моделях систем, процессов, структур. Два графа G1 = G1(V1, H1) и G2= G2(V2, H2) считаются изоморфными, если существует взаимооднозначное отображение такое, что V1 взаимнооднозначно отображается на V2 и H1 взаимнооднозначно отображается на H2, т.е. каждой вершине из V1 соответствует одна и только одна вершина из V2 и наоборот, а каждому ребру из H1 соответствует одно и только одно ребро из H2 и наоборот, каждому ребру из Н2 соответствует одно и только одно ребро из Н1.
Графы процессов и структур определим следующим образом:
G (P) = G (B,D), G(Pa)=G(B0, ?d), G(Pe)= G(?в, D0),
G( C) = G (A, E), G(Ca) = G (A0, ?e), G (Ce)=G(?a, E0).
Сформулируем следующий результат.
Теорема 4.4.9. Графы G(Р), G(С), G(Pa), G(Pe), G(Ca), G(Ce) изоморфны.
Доказательство его следует из очевидного здесь факта: изоморфны между собой множества в каждой тройке множеств: В, В0, ?в; A, Aо, ?a; D, D0, ?d; E, E0, ?e.
Графы систем определим следующим образом, как прямые суммы:
G (S) = G (P) ? G ( C);
G (Sa) = G(Pa) ? G (Ca);
G(Se) = G(Pe) ? G(Ce).
Теорема 4.4.10. Графы G(S), G(Sa), G(Se) изоморфны.
Эти графы изоморфны, так как в соответствии с предыдущим результатом изоморфны их части, не пересекающиеся по вершинам и ребрам.
Графы процесса и структуры также могут быть представлены в виде прямых сумм частей, не пересекающихся по вершинам и ребрам:
G (P) = G(Pa) ? G (Pe); G(C) = G (Ca) ? G(Ce).
В силу этого можно сформулировать
Теорема 4.4.11. Графы G (S), G(Sa), G(Se), G(P), G(C) изоморфны.
• Полученные результаты позволяют сформировать следующую процедуру декомпозиции при исследовании систем. Вполне очевидно, что переход от графа G (S) к графу G(Sa) или G(Se) означает переход от более сложных задач к более простым. В то же время модель любого системного объекта, в том числе Sa и Se, можно представить в виде модели полной системы и вновь разложить его на модели G(Sa), G(Se) и др. Новая декомпозиция будет означать дальнейшее упрощение задач исследования системы. В то же время при повторной декомпозиции модели, как и при первой., вновь будут определены отношения взаимосвязи между частями модели. Сохраняя отношения взаимосвязи на каждом этапе, можно перейти к системе с более простыми задачами исследования – к «простой» системе, задачи которой разрешимы для исследователя. Затем можно, используя отношения взаимосвязи, перейти к решению задач исходной системы, как к некоторой композиции задач «простых» систем. Возможно, что «простая» система – это система, в которой нецелесообразно выделение дополнительной системы.