Устранение парадоксов и их разрешение – это вовсе не одно и то же. Устранить парадокс из некоторой теории – значит перестроить её так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое её звено, отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются.
Но это ещё не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.
Прежде всего решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишённым твёрдых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.
Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксами не следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определённая гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.
Каждый раз, как обнаруживается парадокс, пишет А.Тарский, «мы должны подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации, которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от антиномий, но и с целью не допустить возникновения новых».
И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.
Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер, позволяющих избежать известных парадоксов?
Логическая грамматика
Один путь – это выделение наряду с истинными и ложными предложениями также бессмысленных предложений. Этот путь был принят Б.Расселом. Парадоксальные рассуждения были объявлены им бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования логической грамматики. Не всякое предложение, не нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным – оно должно удовлетворять также правилам особой, логической грамматики.
Рассел построил теорию логических типов, своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. В дальнейшем эта теория была существенно упрощена и получила название простой теории типов.
Основная идея теории типов – выделение разных в логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. К низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, не являющиеся множествами. К первому типу относятся множества объектов нулевого типа, т.е. индивидов; ко второму – множества множеств индивидов и т.д. Иными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т.д. При этом вводятся определённые ограничения на конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств – свойствам и т.д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.
Возьмём серию предложений:
Этот дом – красный.
Красное – это цвет.
Цвет – это оптическое явление.
В этих предложениях выражение «этот дом» обозначает определённый предмет, слово «красный» указывает на свойство, присущее данному предмету, «являться цветом» – на свойство этого свойства («быть красным») и «быть оптическим явлением» – указывает на свойство свойства «быть цветом», принадлежащего свойству «быть красным». Здесь мы имеем дело не только с предметами и их свойствами, но и со свойствами свойств («свойство быть красным имеет свойство быть цветом»), и даже со свойствами свойств свойств.
Все три предложения из приведённой серии являются, конечно, осмысленными. Они построены в соответствии с требованиями теории типов. А скажем, предложение «Этот дом есть цвет» нарушает данные требования. Оно приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, но не предметам. Аналогичное нарушение содержится и в предложении «Этот дом является оптическим явлением». Оба эти предложения должны быть отнесены к бессмысленным.
Простая теория типов устраняет парадокс Рассела. Однако для устранения парадоксов «Лжеца» и Берри простое разделение рассматриваемых объектов на типы уже недостаточно. Необходимо вводить дополнительно некоторое упорядочение внутри самих типов.
Исключение парадоксов может быть достигнуто также на пути отказа от использования слишком больших множеств, подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен немецким математиком Е.Цермело, связавшим появление парадоксов с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированных так, чтобы из них не выводились известные парадоксы. Вместе с тем эти аксиомы были достаточно сильны для вывода из них обычных рассуждений классической математики, но без парадоксов.
Ни эти два, ни другие предлагавшиеся пути устранения парадоксов не являются общепризнанными. Нет единого убеждения, что какая-то из предложенных теорий разрешает логические парадоксы, а не просто отбрасывает их без глубокого объяснения. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по-прежнему важна.
Будущее парадоксов
У Г.Фреге, величайшего логика прошлого века, был, к сожалению, очень скверный характер. Кроме того, он был безоговорочен и даже жесток к своей критике современников.
Возможно, поэтому его вклад в логику и обоснование математики долго не получал признания. И вот когда известность начала приходить к нему, молодой английский логик Б.Рассел написал ему, что в системе, опубликованной в первом томе его книги «Основные законы арифметики», возникает противоречие. Второй том этой книги был уже в печати, и Фреге смог лишь добавить к нему специальное приложение, в котором изложил это противоречие (позднее названное «парадоксом Рассела») и признал, что он не способен его устранить.
Однако последствия этого признания были для Фреге трагическими. Он испытал сильнейшее потрясение. И хотя ему тогда было всего 55 лет, он не опубликовал больше ни одной значительной работы по логике, хотя прожил ещё более двадцати лет. Он не откликнулся даже на оживлённую дискуссию, вызванную парадоксом Рассела, и никак не прореагировал на многочисленные предлагавшиеся решения этого парадокса.
Впечатление, произведённое на математиков и логиков только что открытыми парадоксами, хорошо выразил Д.Гильберт: «…Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике – этом образце достоверности и истинности – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподаёт и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечку?»
Фреге был типичным представителем логики конца XIX в., свободной от каких бы то ни было парадоксов, логики, уверенной в своих возможностях и претендующей на то, чтобы быть критерием строгости даже для математики. Парадоксы показали, что абсолютная строгость, достигнутая якобы логикой, была не более чем иллюзией. Они бесспорно показали, что логика – в том интуитивном виде, какой она имела на рубеже веков, – нуждается в глубоком пересмотре.
Прошло около века с тех пор, как началось оживлённое обсуждение парадоксов. Предпринятая ревизия логики так и не привела, однако, к недвусмысленному их разрешению.
И вместе с тем такое состояние вряд ли кого волнует сегодня. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они всё ещё остаются в центре внимания логиков, поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели своё определённое, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, – это в принципе недостижимый идеал.