Но вернемся к физике и зададим еще один вопрос: зачем нам подсчитывать выполненную работу? Ответ: потому что это интересно и полезно. Потому что работа, которую производит над частицей равнодействующая всех приложенных к ней сил, в точности равна изменению кинетической энергии этой частицы. Если тело толкнуть, оно наберет скорость, и D(v2)=2/m(F·Ds).
§ 2. Движение при наложенных связях
Силы и работа обладают еще одним интересным свойством. Пусть имеется некоторый уклон, какая-то криволинейная колея, по которой частица должна двигаться без трения. Или имеется маятник — груз на ниточке; нить маятника вынуждает груз двигаться по кругу вокруг точки подвеса. Намотав нить на колышек, можно в качании менять точку подвеса, так что траектория груза будет складываться из двух окружностей разного радиуса. Все это примеры так называемых неподвижных связей без трения.
В движении с неподвижными связями без трения эти связи не производят никакой работы, потому что реакции связей всегда прилагаются к телу под прямым углом к самим связям; так обстоит дело и с реакцией колеи и с натяжением нити.
Силы, возникающие при движении частицы вниз по склону под действием тяжести, весьма и весьма запутаны: здесь и реакции связи, и сила тяжести, и т. п. И все же, если основывать свои расчеты движения лишь на сохранении энергии и на учете только силы тяжести, получается правильный результат. Это выглядит довольно странно, потому что это не совсем правильно; надо было бы пользоваться равнодействующей силой. Тем не менее работа, произведенная только силой тяжести, оказывается равной изменению кинетической энергии, потому что работа сил связей равна нулю (фиг. 14.1).
Фиг. 14.1. Силы, действующие на тело, скользящее без трения.
Важное свойство сил, о котором мы говорили, состоит в том, что если силу можно разбить на две или несколько «частей», то работа, выполняемая самой силой при движении по некоторой кривой, равна сумме работ, произведенных каждой «частью» силы. Если мы представляем силу в виде векторной суммы нескольких сил (силы тяжести, реакции связей и т. д., или x-составляющих всех сил плюс y-составляющие и т.д., или еще как-нибудь), то работа всей силы равна сумме работ тех частей, на которые мы ее разделили.
§ 3. Консервативные силы
В природе существуют силы, скажем сила тяжести, обладающие замечательным свойством — «консервативностью» (никаких политических идей, ничего двусмысленного в этом понятии нет). Когда мы подсчитываем, какую работу выполняет сила, двигая тело от одной точки к другой, то вообще работа зависит от траектории; но в особых случаях эта зависимость пропадает. Если работа не зависит от траектории, мы говорим, что сила консервативна. Иными словами, если интеграл от произведения силы на приращения смещений между точками 1 и 2 (фиг. 14.2) один раз вычислен вдоль кривой А, а другой — вдоль кривой В, и оба раза получается одинаковое количество джоулей, и если это выполнено для любой кривой, соединяющей эту пару точек, и если это же справедливо для любой пары точек, то говорят, что сила консервативна. В таких обстоятельствах интеграл работы между точками 1 и 2 можно легко подсчитать и дать для него формулу. А в других случаях это не так просто: нужно задавать еще форму кривой; но когда работа не зависит от кривой, то, ясное дело, остается только зависимость от положений точек 1 и 2.
Чтобы доказать это, рассмотрим фиг. 14.2.
Фиг. 14.2. Возможные пути, соединяющие две точки в поле сил.
Фиксируем произвольную точку Р. Криволинейный интеграл работы на участке (1,2) можно вычислить, разбив его на две части: работу на участке (1, Р) и работу на участке (Р, 2), потому что сейчас у нас всюду консервативные силы, и по какому пути ни пойти, значение работы одно и то же. Работа перемещения из точки Р в любую точку пространства является функцией положения конечной точки. Она зависит и от Р, но мы во всем дальнейшем анализе точку Р закрепим, так что работа перемещения тела от точки Р к точке 2 будет некоторой функцией положения точки 2. Она зависит от того, где находится точка 2; если переместить тело в другую точку, ответ будет другой.
Обозначим эту функцию положения через -U(x, у, z); желая отметить, что речь идет именно о точке 2 с координатами x2, y2, z2, мы будем просто писать U(2), сокращая обозначение U(хг, у2, z2). Работу перемещения из точки 1 в точку Р можно написать, обратив направление интегрирования (переменив знаки всех ds). Другими словами, работа на участке (1,Р) равна работе на участке (P,1) со знаком минус:
Значит, работа на участке (Р,1) есть -U(1), а на участке (Р,2) есть -U(2). Поэтому интеграл от 1 до 2 равен -U(2) плюс [-U1) назад], т. е. + U(1)-U(2):
Величина U(1)-U(2) называется изменением потенциальной энергии, a U можно назвать потенциальной энергией. Мы будем говорит, что когда предмет находится в положении 2, то он обладает потенциальной энергией U(2), а в положении 1 — потенциальной энергией U(1). Когда он находится в положении Р, его потенциальная энергия равна нулю. Если бы вместо Р взять любую другую точку Q, то оказалось бы (это предоставляется доказать вам самим), что потенциальная энергия всех точек изменилась бы только на постоянную добавку. Так как сохранение энергии зависит только от изменений ее, то эта добавочная постоянная никакого значения не имеет. Вот поэтому точка Р произвольна.
Итак, у нас имеются два утверждения: 1) работа, выполняемая силой, равна изменению кинетической энергии системы, но 2) математически для консервативных сил выполненная работа равна минус изменению функции U, называемой потенциальной энергией. Как следствие этих утверждений возникает еще одно: если действуют только консервативные силы, сумма потенциальной U и кинетической Т энергий остается постоянной:
T+U=const. (14.2)
Рассмотрим формулу потенциальной энергии для ряда случаев. Если поле тяготения однородно, если мы не поднимаемся до высот, сравнимых с радиусом Земли, то сила постоянна и направлена вертикально, а работа равна просто произведению силы на расстояние по вертикали. Стало быть,
U(z)=mgz, (14.3)
и за точку Р с нулевой потенциальной энергией можно принять любую точку на поверхности z=0. Но можно также говорить, что потенциальная энергия равна mg(z-6), если нам так уж этого хочется! Все результаты в нашем анализе останутся теми же, кроме того что потенциальная энергия на поверхности z=0 будет равна -mg6. Разницы никакой, ведь в расчет надо принимать только разности потенциальных энергий.
Энергия, необходимая для сжатия пружины на расстояние х от точки равновесия, равна
U(x)=1/2kx2 (14.4)
и нуль потенциальной энергии приходится на точку х=0, т. е. на равновесное состояние пружины. И здесь тоже мы можем добавить любую константу.
Потенциальная энергия тяготения точечных масс Mи m на расстоянии rдруг от друга равна
U(r)=-GMm/r. (14.5)
Константа здесь выбрана так, чтобы потенциал исчезал на бесконечности. Конечно, эту же формулу можно применить и к электрическим зарядам, поскольку закон один и тот же:
U(r)=q1q2/4pe0r. (14.6)
Давайте теперь поработаем с одной из этих формул, посмотрим, поняли ли мы их смысл.
Вопрос: С какой скоростью должна отправиться ракета с Земли, чтобы покинуть ее?
Ответ: Сумма кинетической и потенциальной энергий должна быть постоянной; покинуть Землю — значит удалиться от нее на миллионы километров; если у ракеты только-только хватает сил, чтобы покинуть Землю, то надо предположить, что там, вдалеке, ее скорость будет равна нулю и что на бесконечности она будет едва-едва двигаться. Пусть а — радиус Земли, а M— ее масса. Кинетическая плюс потенциальная энергии первоначально были равны l/2 mv2 -GmM/a. В конце движения эти обе энергии должны сравняться. Кинетическую энергию в конце движения мы считаем нулевой, потому что тело еле движется (почти с нулевой скоростью), а потенциальная энергия равна величине GmM, деленной на бесконечность, т. е. опять нулевая. Значит, с одной стороны стоит разность двух нулей; поэтому квадрат скорости должен быть равен 2GM/a. Но GM/a2 это как раз то, что называют ускорением силы тяжести g. Итак,