геометрических квадратов и кубов, также и основная работа с ними шла по геометрическим правилам. Это было решением двух указанных проблем, но это же и клало предел развитию греческой науки, ибо развитие алгебры при таком подходе оказывалось просто невозможным.
Поздний, римский, период античной математики характеризуется, как и вся античная наука, замедлением или прекращением самостоятельных исследований, составлением большого числа компендиумов, схолий, сводов и учебников. Как замечает Л. Я. Жмудь, здесь «мы имеем дело со средой философских школ эпохи Империи — перипатетиков, неопифагорейцев, неоплатоников, средой, в которой знание математики было частью образования и профессии, а отсутствие оригинального вклада в эту науку — нормой». Лучшими из компендиумов были различные работы среднего платоника Теона Смирнского (перв. пол. II в. н. э.) и особенно Паппа Александрийского (р. ок. 320 г. н. э.). Среди хороших комментаторов можно назвать неоплатоников Прокла Диадоха (412–485 гг. н. э.) и Симпликия (перв. пол. VI в. н. э.). Новые открытия делались крайне редко, но к числу математиков, сумевших самостоятельно продвинуть науку, следует отнести Клавдия Птолемея и Диофанта, работавших в Александрии. В это время намечается отход от тотальной геометризации и первые попытки построения настоящей алгебры, что связано отчасти с влиянием вавилонской науки, отчасти с появлением неопифагореизма (Нумений, Никомах) во II в., то есть оживлением интереса к числу. К сожалению, эти новые тенденции уже не могли получить развития в связи с общим упадком античной культуры, ее христианизацией и одичанием. Зверское убийство христианскими фанатиками главы александрийского Мусейона, женщины-математика Ипатии, в 415 г. н. э. считается символической датой заката александрийской математики.
Латиноязычная математика в этот же период представляла собой удручающе жалкую картину. Практический склад характера римлян позволял им заниматься и развивать такие «математические науки», как механику, архитектуру и музыку, но теоретическая наука черпалась в незначительных количествах из греческих источников и содержалась только в школьных программах, то есть в традициях. Именно в этой традиции «квадривиум» окончательно превратился исключительно в школьный предмет, не содержавший даже десятой части сделанных к этому времени математических открытий. На латинском языке существовал перевод Апулея из Мадавры популярного трактата «Введение в арифметику» Никомаха из Герасы (II в. н. э.)[654]. Положение дел несколько исправляет все тот же великий умница Боэций, но только к закату античности. Его перу принадлежали трактаты по всем четырем математическим наукам (сохранились «О наставлении в арифметике» и «О наставлении в музыке»), в которых он делает адаптированный перевод арифметических, геометрических, музыкальных и астрономических произведений Никомаха, Евклида и Птолемея. Трактаты по музыке и, вероятно, по астрономии представляли собой весьма солидные, хотя и очень эклектичные компендиумы.
Для читателя, заинтересовавшегося проблемами античной математики и астрономии, мы можем порекомендовать книги (из обзорных работ на русском языке):
* Варден Б. Л., ван дер. Пробуждающаяся наука. I. Математика древнего Египта, Вавилонии и Греции / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Физматгиз, 1959.
* История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: В 3 т. / Под ред. А. П. Юшкевича. — Т. 1. — М.: Наука, 1970.
* Рыбников К. А. История математики. — М.: Изд-во МГУ, 1974.
* Жмудь Л. Я. Зарождение истории науки в античности. — СПб.: Изд. РХГИ, 2002.
* Нейгебауэр О. Точные науки в древности. — М.: Наука, 1968.
* Герцман Е. В. Античное музыкальное мышление. — Л., 1986 (и др. книги этого автора по истории музыки).
* Варден Б. Л., ван дер. Пробуждающаяся наука. II. Рождение астрономии / Пер. Г. Е. Куртика. — М.: Наука, 1991.
* На рубежах познания Вселенной. — М.: Наука, 1990.
* См. примеч. к кн. III, гл. 2.
Кроме того, отрадно отметить, что существенная часть греческих математических работ переведена на русский язык. См.:
* Аполлоний Пергский. Конические сечения // Изв. Северо-Кавказского ун-та, 3 (15), 1928.
* Арат. Явления // Наука, небо, поэзия: Античные авторы о небесных светилах / Пер. А. А. Россиуса. — М.: Изд. МГУ, 1992.
* Архимед. Сочинения / Пер. и комм. И. Н. Веселовского. — М.: Физматгиз, 1962.
* Гигин. Астрономия / Пер. А. И. Рубана; вст. ст. А. В. Петрова. СПб.: Алетейя, 1997.
* Гиппарх. Комментарии к Арату // Историко-астрономические исследования, 1988. Вып. 20.
* Диофант Александрийский. Арифметика и Книга о многоугольных числах / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1974.
* Евклид. Начала: В 3 т. / Пер. М. М. Мордухай-Болтовского. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949–1950.
* Прокл. Комментарии к первой книге «Начал» Евклида. Введение / Пер. и комм. Ю. А. Шичалина. — М.: ГЛК, 1994.
* Птолемей Клавдий. Альмагест: Математическое сочинение в 13 книгах / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1998.
* Птолемей Клавдий. Тетрабиблос. — М., 1992.
IV. Арифметика
Античная арифметика как наука была основана Пифагором Самосским (ок. 571–497 гг.), личный вклад которого состоял в следующем.
1. В выделении четных и нечетных чисел, включая сюда представление о простых числах, совершенных числах.
2. В создании теории фигурных чисел, треугольных, квадратных, пятиугольных, пирамидальных и кубических.
3. В начале разработки теории пропорций, выделении арифметической, геометрической и гармонической пропорций.
Поздние пифагорейцы V-IV вв. развивали все эти направления, например теория четных и нечетных чисел приобрела вид положений 21–34 из IX книги «Начал» Евклида, а теория пропорций Евдокса Книдского (ок. 408–355 гг.), ученика Архита, содержится в V книге «Начал». Ги́ппасу из Метапонта (ок. 500 г. н. э.), непосредственному ученику Пифагора, принадлежит открытие иррациональности числа √2, а Феодор Киренский (ум. в 390 г.) и в особенности его ученик, Теэтет Афинский (ок. 420–368 гг.), разработали собственно теорию иррациональных чисел, которую Евклид поместил в X книгу «Начал». Феодор считается автором VII книги «Начал», а Архит Тарентский (430–365 гг.) и его ученики — VIII. Как мы уже отмечали в примечании к Предисловию, пифагорейцы считали именно арифметику базовой математической наукой — теоретическое обоснование этому дал Архит. Школе Архита принадлежит и формулировка замечательного положения, известного как основная теорема арифметики: «Всякое натуральное число раскладывается на простые множители, причем единственным способом (с точностью до их порядка)».
Арифметические работы представителя Хиосской школы Демокрита из Абдер до нас, к сожалению, не дошли.
Достижения этого периода подытожили знаменитые «Начала» Евклида (ок. 365–300 гг.), написанные около 325 г., в которых книги VII-IX посвящены арифметике. В «Началах» изложен и знаменитый алгоритм Евклида по нахождению наибольшего общего делителя двух целых чисел. У Евклида содержится и формула для четных совершенных чисел, а также