Согласно принципу Лежандра, искомые неизвестные поправки должны минимизировать величину
Необходимые условия минимума S как функции переменных ΔE0i записываются в виде
Эти условия образуют систему из шести линейных уравнений относительно шести неизвестных ΔE0i (i = 1…, 6). Например, первое из них записывается в виде
Остальные уравнения записываются аналогично.
Система из шести уравнений (7.3) относительно неизвестных ΔE0i называется нормальной. Использование матричного исчисления позволяет представить нормальную систему и ее решение в компактном виде. Составим матрицу коэффициентов условных уравнений:
Обозначим также вектор-столбец с компонентами ΔE0i как вектор X, а вектор-столбец правых частей с компонентами Ok — Ck как вектор L. В таком случае система условных уравнений запишется в виде
BX = L.
Нормальная система записывается в виде
BTBX = BTL,
где символ T означает транспонирование матрицы (замену строк столбцами и наоборот).
Симметричную матрицу нормальной системы BTB обозначим буквой Q. Решение нормальной системы может быть найдено умножением обеих частей уравнения на матрицу
Q-1 = (BTB)-1,
где символом Q-1 обозначена матрица, обратная матрице Q (заметим, что матрица Q-1 как обратная симметричной матрице, также является симметричной). Произведение обратной матрицы на саму матрицу дает единичную матрицу, вследствие чего решение записывается в виде
X = Q-1BTL. (7.4)
Складывая найденные поправки ΔE0i с исходной системой параметров E0i, находят исправленную систему. Поскольку при образовании системы условных уравнений мы пренебрегли высшими степенями поправок, то исправленная система элементов не обеспечивает минимального значения суммы квадратов остающихся невязок, хотя обычно уменьшает ее. Для достижения минимума процедуру дифференциального исправления системы элементов приходится повторять до тех пор, пока поправки к элементам не станут достаточно малыми. Найденное таким образом решение называют номинальным.
На практике используется большое число методов решения нормальной системы, в том числе и тот, который, согласно (7.4), основан на обращении матрицы Q, хотя его следует избегать в случае малости определителя матрицы. В теоретическом плане представление решения в виде (7.4) является наглядным и позволяет раскрыть ряд особенностей этого решения. К этому вопросу мы еще вернемся, но прежде рассмотрим вероятностный смысл решения системы условных уравнений методом МНК.
Интересующие нас особенности имеют место только в случае нормального закона распределения ошибок (закона Гаусса):
(e — основание натурального логарифма).
Центр распределения определяется значением элемента в номинальном решении, а дисперсии элементов определяются диагональными элементами матрицы Q-1 — обратной матрицы нормальной системы. Иначе говоря, если обозначить среднеквадратичную ошибку элемента Ei как σi, то
где σ — средняя квадратичная величина остаточных уклонений:
n — число условных уравнений, m — число определяемых неизвестных, в нашем случае 6, Q-1ii — i-й диагональный элемент обратной матрицы нормальной системы.
Для нормального распределения ошибок элементов орбиты справедливы особенности нормального распределения, в частности то, что вероятность появления ошибки, превышающей утроенное значение среднеквадратичной ошибки элемента, меньше 0,003.
Когда мы говорим об ошибках элементов орбиты, то понимаем при этом возможные отличия элементов от тех значений, которые они имеют в номинальном решении. Таким образом, областью возможных значений для каждого элемента является Ei ± 3σi. Каждую возможную орбиту можно представить как точку шестимерного пространства, по осям которого откладываются значения элементов орбит. Рассмотрим малую окрестность некоторой точки этого пространства. Вероятность попадания орбиты в эту окрестность зависит от одновременного попадания шести элементов орбиты в соответствующие элементарные интервалы ΔEi. Мы уже видели, что при нормальном распределении ошибок эти вероятности определяются формулами типа (7.5), т. е.
где под xi следует понимать элемент Ei, p(xi) — плотность вероятности распределения ошибок соответствующего элемента, σi — корень квадратный из дисперсии ошибок (среднеквадратичная ошибка i-го элемента).
Предположим ради простоты изложения, что случайные ошибки элементов Ei и Ej попарно независимы, т. е. вероятность попадания ошибки элемента Ei в некоторый интервал не зависит от ошибки элемента Ej. В этом случае ошибки всех элементов являются независимыми в совокупности. Плотность вероятности одновременного попадания шести элементов в достаточно малую окрестность точки (E1…, E6) в этом случае выражается как произведение плотностей вероятностей распределения ошибок отдельных элементов:
p(E1…, E6) = p1(E1)p2(E2)… p6(E6).
Каждый сомножитель в правой части последней формулы определяется формулой типа (7.5). Из этого вытекает, что плотность вероятности в точке r в случае шестимерного нормального распределения при сделанном предположении определяется формулой
Указанная плотность вероятности остается неизменной во всех точках пространства, где
При любом положительном значении постоянной это выражение представляет собой уравнение эллипсоида в осях, совпадающих по направлению с главными осями эллипсоида и имеющих начало в точке (x10, x20, x30…, x60) шестимерного пространства. Если представить, что в шестимерном пространстве элементов по осям прямоугольной системы координат с началом в точке, отвечающей номинальной орбите, отложены величины σi и представить себе шестимерный эллипсоид с полуосями σi, то плотность вероятности на таком эллипсоиде будет всюду одинаковой. То же самое будет справедливо и для любого другого подобного и подобным образом расположенного эллипсоида. Такие эллипсоиды называются эллипсоидами равных плотностей вероятностей.
По аналогии с одномерным случаем можно заключить, что вероятность попадания точки внутрь некоторого эллипсоида равна интегралу
где интегрирование распространяется на все пространство, ограниченное эллипсоидом. Если полуоси эллипсоида неограниченно увеличиваются, то интеграл по всему пространству равен единице. Если представить эллипсоид с полуосями, равными 3σi, то вероятность попадания точки в область пространства, ограниченную этим эллипсоидом, близка к единице (0,99736). Такой эллипсоид будем называть доверительным.
Выше предполагалось, что ошибки элементов независимы. На самом деле они корреляционно связаны. Отражением этих связей между ошибками отдельных элементов, найденных по методу МНК, являются величины недиагональных элементов обратной матрицы Q-1, которую называют корреляционной матрицей решения или матрицей ковариаций. Корреляционные связи могут проявляться по-разному. Примером двух элементов, находящихся в жесткой корреляционной зависимости, являются долгота узла и угловое расстояние перигелия от узла при малом наклоне орбиты. Ошибки этих величин близки по величине и противоположны по знаку.
Сделанное выше допущение о независимости случайных ошибок элементов эквивалентно допущению, что все недиагональные элементы матрицы ковариаций равны нулю. В том случае, если это допущение неверно, плотность вероятности многомерного нормального распределения будет иметь более сложный вид по сравнению с (7.7). В показателе экспоненты будет присутствовать сумма не только квадратов, но и смешанных членов вида (xi — xi0)(xj — xj0) с коэффициентами, зависящими от недиагональных элементов матрицы ковариаций (коэффициентов корреляции). Приравнивание суммы в показателе экспоненты к положительной постоянной дает уравнение эллипсоида равной плотности вероятности, но в этом случае ориентация главных осей эллипсоида не совпадает с ориентацией координатных осей. Путем поворота координатных осей уравнение эллипсоида может быть приведено к виду (7.8), в котором отсутствуют смешанные члены.
Корреляционные матрицы, определяющие погрешности элементов и корреляционные связи между ними, находят важное применение при определении погрешностей различных функций этих элементов. Этот вопрос еще будет обсуждаться в следующих параграфах.