Соч.: Письма об эстетическом воспитании, 3 изд., М., 1908; Этюды о русских писателях, в. 1—5, СПБ, 1903—11; Из мира великих преданий, 12 изд., СПБ, 1911; Русские писатели, как воспитательно-образовательный материал для занятий с детьми и для чтения народу, 7 изд., СПБ, 1913; Беседы о преподавании словесности, 4 изд., СПБ, 1913; Выразительное чтение, 8 изд., М., 1916.
Лит.: Гречишникова А. Д., В. И. Водовозов и В. П. Острогорский, М., 1941; Роткович Я. А., Вопросы преподавания литературы. Историко-методические очерки, М., 1959.
Н. И. Якушин.
Острогорский Георгий Александрович
Острого'рский Георгий Александрович [р. 6(19).1.1902, Петербург], югославский византинист, действительный член Сербской АН (1948). Профессор Белградского университета (с 1933). С 1948 директор института византиноведения Сербской АН. Почётный член многих академий Европы. Автор работ по социально-экономической истории Византии и по истории византийско-сербских отношений. Общий курс О. по истории Византии (переведённый на многие европейские языки) пользуется значительным авторитетом. В отличие от большинства русских дореволюционных и современных византинистов Западной Европы и США, О. признаёт наличие в Византии феодализма как социально-экономической системы. Коренное изменение социально-политических отношений (утверждение свободного крестьянства, организация фем) О. датирует 7 в. (в то время как многие историки — 8 — 1-й половиной 9 вв.). О. — сторонник теории непрерывности (от времён Римской империи) развития византийских городов.
Соч.: Сабрана дела, књ. 1—3, Београд, [1969—70]; Geschichte des byzantinischen Staates, Münch., 1963; Pour l’histoire de la féodalité byzantine, Brux., 1954.
Остроготы
Острого'ты, германское племя; см. Остготы.
Остроградский Михаил Васильевич
Острогра'дский Михаил Васильевич [12(24).9.1801, деревня Пашенная, ныне Полтавской области, — 20.12.1861(1.1.1862), Полтава], русский математик, академик Петербургской АН (1830). Учился в Харьковском университете (1816—20), а затем слушал в Париже (1822—28) лекции О. Коши, П. Лапласа, Ж. Фурье. Профессор офицерских классов Морского кадетского корпуса (с 1828), института корпуса инженеров путей сообщения (с 1830), Главного педагогического института (с 1832), Главного инженерного училища (с 1840), Главного артиллерийское училища (с 1841) в Петербурге. Основные работы относятся к математическому анализу, теоретической механике, математической физике; известен также работами по теории чисел, алгебре, теории вероятностей. О. решил (1826) важную задачу о распространении волн на поверхности жидкости, заключённой в бассейне, имеющем форму круглого цилиндра. В работах по теории распространения тепла в твёрдых телах и в жидкостях О. получил дифференциального уравнения распространения тепла и одновременно пришёл к ряду важнейших результатов в области математического анализа: нашёл формулу преобразования интеграла по объёму в интеграл по поверхности (см. Остроградского формула), ввёл понятие сопряжённого дифференциального оператора, доказал ортогональность собственных функций данного оператора и сопряжённого, установил принцип разложимости функций в ряд по собственным функциям и принцип локализации для тригонометрических рядов. Теория распространения тепла в жидкости фактически впервые была построена О.; занимался также вопросами теории упругости, небесной механики, теории магнетизма и др.
Установленная О. (1828) формула преобразования интеграла по объёму в интеграл по поверхности была обобщена им (1834) на случай n-кратного интеграла. При помощи этой формулы О. нашёл вариацию кратного интеграла. О. дал (1836, опубликовано в 1838) вывод правила преобразования переменных интегрирования в двойных и тройных интегралах, метод интегрирования рациональных функций — выделение рациональной части интеграла (т. н. Остроградского метод). Важные результаты были получены О. в теории дифференциальных уравнений, приближённом анализе.
В теоретической механике О. принадлежат фундаментальные результаты, связанные с развитием принципа возможных перемещений, вариационных принципов механики, а также с решением ряда частных задач; О. построена (1854) общая теория удара. В 40-х гг. 19 в. общий вариационный принцип почти одновременно был высказан для консервативных систем У. Гамильтоном и для неконсервативных систем О. В «Мемуаре о дифференциальных уравнениях, относящихся к проблеме изопериметров» (1850) О. обобщил эти результаты на общую изометрическую задачу вариационного исчисления. Большой интерес для своего времени имели работы О. по теории движения сферических снарядов в воздухе и выяснению влияния выстрела на лафет орудия.
О. был передовым учёным, стоял на позициях естественнонаучного материализма. Критерием ценности математических исследований для О. служила практика, возможность использовать полученные результаты в практической деятельности. Характерны в этом отношении его исследования по теории вероятностей. Одно из них, положившее начало статистическому методу браковки, проведено им с целью облегчения работы по проверке товаров, поставляемых армии. О. принадлежит также ряд популярных статей, педагогических исследований и превосходных для своего времени учебников. О. был членом многих иностранных академий.
Соч.: Полн. собр. трудов, т. 1—3, К., 1959—61.
Лит.: Гнеденко Б. В., Погребысскии И. Б., Михаил Васильевич Остроградский, М., 1963.
М. В. Остроградский.
Остроградского метод
Острогра'дского ме'тод, метод выделения рациональной части неопределённого интеграла
где Q (x) — многочлен степени п, имеющий кратные корни, а Р (х) — многочлен степени m £ n — 1.
О. м. позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией переменного х, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство
(1)
где Q1, Q2, P1, P2 — многочлены степеней соответственно n1, n2, m1, m2, причём n1 + n2= n, m1 £ n1 — 1, m2 £ n2 — 1 и многочлен Q2(x) не имеет кратных корней. Многочлен Q1(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q (x) и , и, следовательно, явное выражение Q1(x) можно найти, например, с помощью Евклида алгоритма. Дифференцируя правую и левую части (1), получим тождество
. (2)
Тождество (2) позволяет найти явное выражение многочленов P1(x) и P2(x) неопределённых коэффициентов методом.
О. м. был впервые предложен в 1844 М. В. Остроградским.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969.
Остроградского формула
Острогра'дского фо'рмула, формула, дающая преобразование интеграла, взятого по объёму Q, ограниченному поверхностью S, в интеграл, взятый по этой поверхности:
;
здесь X, Y, Z — функции точки (х, у, z), принадлежащей трёхмерной области W. О. ф. найдена М. В. Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). В векторной форме О. ф. имеет вид:
,
где р — вектор поля, заданного в области W; dt — элемент объёма; n — единичный вектор внешней нормали к поверхности S; ds — элемент этой поверхности. В гидродинамическом истолковании О. ф. устанавливает равносильность двух способов учёта того количества жидкости, которое вытекает из оболочки S в единицу времени: 1) исходя из «производительности» точечных источников, заполняющих область W (левая часть равенства); 2) исходя из скоростей частиц жидкости в момент их прохождения через оболочку S (правая часть равенства). Формула была дана Остроградским (1834, опубликована в 1838) также и в более общем виде — для интеграла, распространённого на n-мерную область.
Острое
О'строе, посёлок городского типа в Донецкой области УССР, подчинён Селидовскому горсовету. Ж.-д. станция (Острая) на линии Донецк — Красноармейское. Добыча угля.