Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:
S = a1 [qn / (q — 1) — 1 / (q — 1)]
а потом открыл скобки:
S = a1qn / (q — 1) — a1 / (q — 1)
А вслед за тем Знаменатель еще раз поглядел на Илюшу и важно поклонился ему.
На лице его было написано полное удовлетворение всем происшедшим.
Рыжая дама сжала свои костлявые пальчики и смиренно посмотрела вверх. Илюша тоже машинально поглядел вверх и вдруг увидел, что на маленьком парашютике спускается крохотный, с кулачок, плюшевый Мишка.
Мишка спустился, встал на задние лапки и сказал Илюше, что его зовут Эн.
— Значит, ты число членов прогрессии?
— Угадал! — пискнул Мишка.
Вслед за этим началось акробатическое представление. Рыжая дама, стараясь не глядеть на Илюшу, стала слева. За ней в воздухе повис знак равенства. Затем Знаменатель повесил в воздухе две большие дробные черты, между ними приладил длинный тонкий минус. При этом он вдруг три раза щелкнул пальцами и превратился из одного человечка Знаменателя в троих, совершенно одинаковых. Один из них забрался на первую из двух дробных черт, рядом с первым членом прогрессии.
Плюшевый Мишка вдруг страшно оживился, прыгнул, точно кузнечик, и прямо
— 197 —
с пола перелетел ему на тулью цилиндра. Получилась снова уже известная Илюше формула:
S = a1qn / (q — 1) — a1 / (q — 1)
Буква n, которую Мишка столкнул своей плюшевой лапкой с цилиндра человечка Знаменателя, кое-как приподнялась с пола и жалобно пропищала:
— Я буду больше единицы!
В ответ на это плюшевый Мишка, очень удобно примостившийся на краю цилиндра Знаменателя, начал пыхтеть и понемножку толстеть, а дама начала понемногу расти вверх.
Илюша подумал: «Эн увеличивается, и сумма растет. Ну да, так и должно быть, конечно! Чем больше будет число членов, тем и сумма будет больше. Ясно!»
А Мишка посмеивался и все толстел. Дама тоже все тянулась вверх. Мишка уже стал ростом с кошку, а дама выросла примерно вдвое. Самое странное при этом было то, что она не толстела, а только тянулась вверх и становилась все более тощей. Мишка вырос до размеров целого теленка, так что оставалось только удивляться, как он умещается на цилиндре, уцепившись за него задней лапой. Длинная дама уже даже начала как-то странно покачиваться, точно малейший ветерок мог ее свалить. А Мишка стал как настоящий Топтыгин.
Вдруг дама взвизгнула, ее головка дернулась вниз и вбок, вся она свернулась восьмеркой и упала на бок. А громадная задняя лапа Мишки тоже как-то завинтилась, вроде лежащей на боку восьмерки.
Илюша посмотрел на это и обернулся к Радиксу за помощью.
— Эта упавшая на бок восьмерка, — пояснил тот, — есть знак бесконечности. Если число членов растет безгранично, то
— 198 —
и сумма прогрессии растет так же безгранично. В таком случае говорят, что и число членов и сумма прогрессии являются бесконечно большими величинами.
Илюша глянул искоса на Радикса и спросил:
— Так это, значит, и будет бесконечность?
— Н-да… — отозвался Радикс таким недовольным голосом, будто из него кто-то силком вытянул это «н-да»…
Он, видимо, был сильно не в духе.
— Послушай, — сказал Илюша как только умел любезно, — мне ужасно неприятно, что ты так на меня сердишься, но я, честное слово, не хотел тебя сердить. Честное слово! И я буду очень стараться. Только уж ты, пожалуйста, расскажи. Значит, эта штука будет гораздо больше даже того поразительного архимедова числа, в котором восемьдесят квадриллионов нулей? Что же это за число такое?
Выслушав это, Радикс Нахмурился еще пуще. Видно было, что бедный Илюша, сам того не желая, задел беднягу за живое.
— Начнем с того, — заявил Радикс, — что это вовсе не число! Древний грек, замечательный философ древности Аристотель, который жил в четвертом веке до нашей эры, так говорил о бесконечности. «Она, — говорил Аристотель, — существует только в возможности». Он говорил еще, что это не такая величина, дальше которой ничего нет, а такая, дальше которой всегда есть еще что-то. Как это понимать? А вот как.
Когда мы говорим, что какая-нибудь величина является бесконечно большой, то, значит, мы говорим о величине, во-первых, переменной, а во-вторых, неограниченно возрастающей, вот как наш плюшевый Мишка или Сумма в то время, когда они растут и растут. Какие бы ты ни ставил вехи на пути такой переменной величины, она вce равно уйдет дальше их. Если ты перенесешь эти вехи затем еще дальше, она и за те уйдет, и так всегда будет, как бы ты далеко ни забирался.
Илюша посмотрел на формулу:
— Значит, когда ты говоришь, что наша сумма бесконечно большая, то нельзя понимать, что она стала «бесконечностью», а это только значит что она становится все больше и больше?
— Да. И это потому, что Мишка наш растет. Попробуй-ка назначь какую-нибудь границу для суммы, назови какое-нибудь число, самое большое, какое тебе придет в голову.
— 199 —
— Ну, например, децильон. Это, помнится, десять в тридцать третьей степени, — подсчитал Илюша.
— Это очень просто, — ответил Мишка. — Ты требуешь, чтобы сумма
S = 3 · (2n — 1) / (2 — 1) = 3 · (2n — 1)
стала больше 1033. Но 210 больше, чем 103, значит, 2110 уж наверно больше, чем 1033, а у нас там еще множитель «три» в запасе. Но на самом деле не успею я и до ста дорасти, как сумма станет больше твоего числа.
— Верно! А если взять децильон децпльонов (это уже больше девятого архимедова числа), тогда что ты будешь делать?
— Тогда мне придется еще подрасти, — отвечал Мишка. — Вот когда я еще вдвое вырасту, до двухсот, сумма станет больше твоего числа 1066. Можешь проверить, коли не лень.
— И так будет, — сказал Радикс, — всегда, какое бы ты число ни назначил. У нас это для краткости выражают так: когда число членов прогрессии со знаменателем, большим единицы или даже равным единице, неограниченно возрастает, сумма стремится к пределу, равному бесконечности.
— Вот тут уж я не понимаю, — ответил Илюша. — Как это — стремится к пределу, когда она как раз возрастает беспредельно? И что это значит — равному бесконечности? Как может быть что-нибудь равно бесконечности?
— Ты совершенно прав, сказал Радикс — Гораздо было бы лучше говорить, что ни к какому пределу она не стремится, ни к чему не приближается, а, наоборот, от всего удаляется… Но, видишь ли, бывают очень важные случаи, когда при таком же поведении Мишки переменные величины взаправду приближаются к каким-то числам, то есть к своим пределам.
Вспомни синьориту Одну Энную: при неограни-
— 200 —
ченном возрастании «эн» она принимала все меньшие и меньшие значения; и про нее мы имеем право сказать, что она приближалась или стремилась к нулю, как к своему пределу.
Поэтому у нас и для бесконечно больших величин, возрастающих неограниченно, употребляют условно такой же способ выражения и говорят, что они «стремятся к бесконечности».
— Да… — задумчиво протянул Илюша. — Я понимаю, что синьорита Одна Энная не может стать равной нулю, а только стремится к нулю. Но ведь можно взять другой пример и выбрать именно такую величину, которая становится действительно равной нулю. Ну вот, скажем, беру я две прямые и буду одну поворачивать так, чтобы угол между прямыми уменьшался. Значит, когда я достигну того, что прямые мои станут параллельно, угол между ними будет просто равен нулю? Так я говорю или нет?
— Так, — ответил Радикс. — Но что же ты хочешь этим сказать?
— Не может ли и с бесконечностью так получиться, что какая-нибудь величина станет действительно равной бесконечности, а не только, как ты говоришь, будет стремиться к ней.
Вот, например, с этими прямыми. Я возьму какой-нибудь отрезок и к нему в одном конце перпендикуляр, а в другом — наклонную. Они пересекутся, скажем, на расстоянии х от основания перпендикуляра. Если поворачивать наклонную, чтобы сделать ее параллельной перпендикуляру, то х будет ведь стремиться к бесконечности в том самом смысле, как ты это говоришь, но когда отрезки станут параллельными, то ведь х и будет равным бесконечности…
Не успел Радикс ответить мальчику на это, как позади них раздалось такое сердитое пофыркивание, что Илюша невольно обернулся. Он увидел, что неподалеку от них стоит все тот же несносный Доктор Замысловатых Узлов и язвительным шепотом говорит следующее: