После этого все готово, чтобы определить компоненты ускорения. Всю эту работу можно сильно облегчить, если пользоваться таблицами квадратов, кубов и обратных величин. На нашу долю останется тогда только умножение х на 1/r3, которое легко выполняется на логарифмической линейке.
Перейдем к дальнейшему. Возьмем интервал времени e=0,100. В начальный момент t=0
x(0)=0,500,. у(0)=0,000,
vx(0) = 0,000, vy(0)=+1,630.
Отсюда находим
r(0)=0,500, 1/r3=8,000,
ax=-4,000, ау=0,000.
После этого можно вычислять компоненты vx (0,05) и vy (0,05):
vя (0,05)=0,000-4,000·0,050 = -0,200,
vy(0,05)=1,630+0,000-0,100=1,630.
А теперь начнем наш основной расчет:
и т. д.
В результате мы получим числа, приведенные в табл. 9.2, где приблизительно за 20 шагов прослежена половина пути нашей планеты вокруг Солнца. На фиг. 9.6 отложены координаты планеты х и y, приведенные в табл. 9.2.
Фиг. 9.6. График движения планеты вокруг Солнца.
Точки представляют собой последовательные положения планеты через каждую десятую долю выбранной нами единицы времени. Видно, что сначала она двигалась быстро, а затем — все медленней и медленней. Видна также и форма кривой движения планеты. Итак, вы теперь знаете, как реально можно вычислять движение планет!
Давайте посмотрим теперь, как вычислить движение Нептуна, Юпитера, Урана и остальных планет. Можно ли сделать подробные расчеты со множеством планет, учитывая к тому же и движение Солнца? Разумеется, можно. Найдем сначала силу, действующую на каждую данную планету, например на ту, которую мы обозначим номером i и координаты которой хi, yi и zi (i=1 может означать Солнце, i=2 — Меркурий, i=3 — Венеру и т. д.). Наша задача — найти координаты всех планет. По закону тяготения x-компонента силы, действующая на i-ю планету со стороны планеты номер j' с координатами хj уj, zj, будет равна —Gmimj(xi-xj)/r3jj . Если же учесть силы со стороны всех планет, то получим следующую систему уравнений:
где rij — расстояние между i-й и j-й планетами:
S означает суммирование по всем остальным планетам, r. е. по всем значениям j, за исключением, конечно, j = i. Таким образом, чтобы решить это уравнение, нужно лишь значительно увеличить количество столбцов в нашей таблице. Для движения Юпитера понадобится девять столбцов, для Сатурна — тоже девять и т. д. Если нам заданы все начальные положения и скорости, то из уравнения (9.18) можно подсчитать все ускорения, вычислив, конечно, предварительно по формуле (9.19) все расстояния rij,. А сколько же времени потребуется на все эти вычисления? Если вы будете делать их сами дома, то очень много! Однако сейчас уже имеются машины, неимоверно быстро выполняющие все арифметические расчеты. Сложение, например, такая машина выполняет за 1 мксек, т. е. за одну миллионную долю секунды, а умножение — за 10 мксек. Так что если один цикл расчетов состоит из 30 операций умножения, то это займет всего лишь 300 мксек, или за 1 сек можно сделать 3000 циклов. Если мы хотим считать с точностью до одной миллиардной, то для того, чтобы покрыть все время обращения планеты вокруг Солнца, требуется 4·105 циклов. (Оказывается, что ошибка в расчетах приблизительно пропорциональна квадрату e. Если брать интервал в тысячу раз меньший, то ошибка уменьшится в миллион раз. Так что для обеспечения нашей точности нужно взять интервал в 10 000 раз меньше.) На машине это займет 130 сек, или около 2 мин. Всего лишь 2 мин, для того чтобы «прогнать» Юпитер вокруг Солнца и при этом еще с точностью до одной миллиардной учесть все возмущения от других планет!
Итак, в начале этой главы для вас были загадкой движения грузика на пружинке, однако теперь вооруженные таким мощным орудием, как законы Ньютона, вы можете вычислять не только такие простые явления, как качание грузика, но и неимоверно сложные движения планет, причем с любой желаемой точностью! Нужна только машина, знающая арифметику.
Глава 10
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
§ 1. Третий закон Ньютона
§ 2. Закон сохранения импульса
§3. Импульс все-таки сохраняется
§ 4. Импульс и энергия
§ 5. Релятивистский импульс
§ 1. Третий закон Ньютона
Второй закон Ньютона, который связывает ускорение любого тела с действующей на него силой, позволяет хотя бы в принципе решить любую механическую задачу. Можно, например, с помощью числового метода, знакомого вам уже по предыдущей главе, определить движение нескольких частиц. Однако имеется еще достаточно причин, чтобы продолжить изучение законов Ньютона. Во-первых, существуют такие сравнительно простые случаи движения, которые можно изучать не только числовым путем, но и с помощью прямых математических методов. Вы знаете, например, что ускорение свободно падающего тела постоянно и равно 9,8 м/сек2. Исходя из этого, можно было бы численно восстановить всю картину движения, однако гораздо проще и удобнее с помощью математического анализа найти общее решение: s=s0+v0t+4,9t2. To же самое относится и к гармоническому осциллятору, расчету которого была посвящена часть предыдущей главы. Можно было бы просто аналитически доказать, что функция cost является точным решением этой задачи, поэтому нет необходимости в арифметических упражнениях, если ответ можно получить более простым и строгим методом.
Одна из таких задач — движение планеты вокруг Солнца. Можно, конечно, так же, как мы это делали в гл. 9, постепенно найти общую форму орбиты, однако и эта задача решается точно, причем в результате получается строго эллиптическая орбита.
Но, к сожалению, таких задач, которые могут быть точно решены с помощью анализа, очень мало. В том же гармоническом осцилляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Или, например, если вокруг Солнца вращается не одна планета, а две (т. е. имеются всего три тела, взаимодействующих друг с другом), то нам не удастся найти аналитическую форму такого движения и на деле задача тоже решается численно. Это знаменитая проблема трех тел, над которой в течение долгого времени бились лучшие умы человечества. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Та же знаменитая проблема трех тел, решение которой, как полагали, очень сложно, в числовом методе выглядит самой заурядной задачкой и решается способом, описанным в предыдущей главе, т. е. с помощью большого числа арифметических действий. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее — числовым арифметическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Возьмите, например, сложную задачу столкновения двух автомобилей или даже движение молекул газа. В кубическом миллиметре газа содержится бесчисленное количество частиц, и было бы безумием пытаться решать задачу со столькими переменными (около 1017, т. е. сто миллионов миллиардов!). Столь же сложна задача о движении звезд в шаровом скоплении, где вместо двух или трех планет, движущихся вокруг Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие-то другие пути.
При таком положении, когда детальное рассмотрение невозможно, полезно знать некоторые общие свойства, т. е. общие теоремы или принципы, которые являются следствием законов Ньютона. Один из таких принципов — это закон сохранения энергии, который мы обсуждали в гл. 4. Вторым принципом является закон сохранения импульса, которому посвящена настоящая глава. Другая причина необходимости дальнейшего изучения механики — это существование некоторых общих свойств движения, которые повторяются при различных обстоятельствах; так что полезно изучить это свойство на каком-то одном частном случае. Мы, например, будем изучать столкновения; различные виды столкновений имеют много общего. Или возьмем течение жидкости, неважно какой; законы течения разных жидкостей имеют много общего. Еще один пример, который мы будем изучать, это колебания, или осцилляции, в частности свойства механических волн: звука, колебания стержней и т. д.