Ниже показана цепь из двух вспомогательных уравнений между двумя уровнями и уравнением темпа:
,
6-3, A
где RSR — уровень, a AIR — константа,
,
6–4,
Агде IAR — уровень, a DHR и DUR — константы,
,
6-5, R
где UOR — уровень.
Следует заметить, что в уравнении 6–3, А (индекс «A» применяется в шифре вспомогательных уравнений) уровень RSR в момент времени К используется в качестве ввода для вспомогательной переменной IDR в момент времени К-Выражения AIR, DHR и DUR — константы. В тот же момент времени К, IDR является вместе с другим уровнем вводом для вспомогательной переменной DFR. В свою очередь DFR используется вместе с другим уровнем в уравнении темпа 6–5,R для определения темпа SSR.
Отметим, что уравнение 6–3 может быть подставлено в уравнение 6–4 и далее в уравнение 6–5; тогда получим:
.
6-6, R
Таким образом, могут быть исключены вспомогательные уравнения, а темп выражен только через уровни и константы.
В главе 13 уравнения 6–3, 6–4 и 6–5 рассматриваются применительно к обстановке на промышленном предприятии. Каждое из этих вспомогательных уравнений определяет имеющую самостоятельный смысл переменную, важную для отражения системы. Наши представления о системе были бы безнадежно затемнены, если бы мы действительно производили подстановку, выполненную в уравнении 6–6.
Вспомогательная переменная в принципе зависит только от уже известных уровней и от других вспомогательных переменных, значения которых могут быть вычислены до того, как они понадобятся. Как отмечалось в отношении уравнений темпов, значения темпов, относящиеся к предшествующему интервалу времени JK, могут быть иногда использованы во вспомогательных уравнениях; хотя это, строго говоря, неверно, однако при определенных условиях такой метод может дать достаточно хорошее приближение к средним значениям, получаемым для коротких интервалов времени.
Дополнительные уравнения. Дополнительные уравнения применяются при определении переменных, не являющихся частью структуры модели, но используемых при печати и графическом изображении величин, представляющих интерес для понимания поведения модели. Мы можем пожелать собрать информацию (например, о сумме запасов в целой системе), которая не используется в процессе выработки какого-либо решения в модели. Обозначение «S» указывает на дополнительное уравнение.
Уравнения начальных условий. Уравнения начальных условий используются для определения исходных значений всех уровней (и некоторых темпов), которое должно быть произведено до начала первого цикла решения уравнений. Они также используются в начальный момент времени для вычисления значений одних констант, исходя из значений других. Уравнения начальных условий решаются только один раз перед началом каждого проигрывания модели. Обозначение «N» указывает на уравнение начальных условий.
6. 5. Интервал решений
Интервал решений должен быть достаточно коротким, чтобы его величина не влияла сколько-нибудь серьезно на результаты вычислений. Его следует выбирать по возможности максимально большим с тем, чтобы не допускать увеличения загрузки вычислительной машины там, где это не вызвано необходимостью.
Основное требование ограничения продолжительности интервала вытекает из характера построения системы уравнений. Уровни определяют темпы, а темпы определяют уровни, но система уравнений является «открытой»; под этим подразумевается, что каналы обратной связи остаются в течение интервала решений DT закрытыми. Поэтому интервал должен быть достаточно коротким, чтобы изменения в уровнях между моментами решений не привели к недопустимой дискретности темпов.
В большинстве наших систем допустимый интервал между вычислениями будет определяться запаздываниями, имеющими форму показательной функции (см. главу 8). Как мы увидим, интервал обязательно должен быть меньше продолжительности любого запаздывания первого порядка; желательно, чтобы он был меньше его половины. Поскольку запаздывания третьего порядка наиболее употребительны и поскольку они эквивалентны трем последовательным запаздываниям первого порядка, каждое из которых составляет одну треть запаздывания третьего порядка, интервал решений должен быть меньше одной шестой общей продолжительности самого короткого запаздывания третьего порядка в рассматриваемой системе.
Сформулированное правило является эмпирическим. Наилучший способ проверки правильности выбора интервала решений состоит в варьировании его величины и наблюдении за влиянием ее на результаты вычислений.
Особым критерием, определяющим максимально допустимую величину интервала решений, является взаимосвязь между значениями уровней и темпами потоков, входящих в эти уровни и исходящих из них. Интервал решений должен быть достаточно коротким, чтобы суммарный входящий или исходящий поток не вызывал больших изменений в содержании уровня за один интервал решений. Например, если возможен высокий темп исходящего потока при небольшой величине содержимого в уровне, то интервал решений должен быть достаточно коротким с тем, чтобы только часть содержимого уровня могла быть исчерпана за один интервал решений. Если интервал настолько велик, что на его протяжении из уровня может быть изъято содержимое в большем количестве, чем имелось в нем в начале интервала, то в конце интервала содержимое уровня будет выражаться отрицательной величиной, что не имеет смысла.
Есть другое, более существенное соображение, которое теоретически влияет на величину интервала решений. Теория проб, описывающая прерывистые потоки в системах с обратной связью, устанавливает определенную зависимость между величиной интервала проб (в данном случае — интервала решений) и такими, представляющими интерес для понимания системы характеристиками, как «поле допуска». (Оно показывает, насколько велики могут быть колебания в действиях системы.) Интервал решений должен быть существенно короче периода колебаний тех компонентов системы, которые отличаются наиболее короткой периодичностью, определяемой путем вычислений. Можно полагать, что применение приведенного выше эмпирического правила всегда будет приводить к интервалу, достаточно короткому, чтобы можно было точно отобразить отдельные компоненты, и что этот интервал будет меньше максимально допустимого, исходя из характеристик системы в целом.