бы 80.
Чем обусловлен этот короткий способ? Чтобы найти среднее для двух чисел (78,75 и 80), мы должны сложить их и взять половину от суммы:
78.75 + 80 = 158,75
158,75: 2 = 79,375
Разделив 15 на 2, мы получаем в ответе 7 и переносим остаток 1 к цифре 8, получая 18. В рассмотренном коротком способе мы просто опустили эту часть вычислений.
Более высокая точность
Если мы хотим вычислять с большей точностью, можно повторить процедуру, используя полученный ответ в качестве второй оценки.
Для демонстрации метода возьмем самый первый пример, приведенный в этой главе:
√56 =
Нашим первым приближением является 7 (7 х 7 = 49).
56: 7 = 8
8 – 7 = 1 (разница)
1: 2 = 0,5
7 + 0,5 = 7,5
Теперь повторим процесс. Разделим 56 на 7,5. Данная операция не составляет труда. Это то же самое, что 112: 15 или 224: 30. Если мы удваиваем и делимое, и делитель, результат деления не изменяется.
224 легко делится на 30. Делим сначала на 10 (22,4), а потом на 3.
224: 30 = 7,4667
Можно использовать наш короткий способ для нахождения среднего значения. Мы знаем, что первой частью ответа является 7,4. Приписываем остаток 1 спереди к 667 и получаем 1667. Делим это число на 2:
1667: 2 = 833,5
Приписываем 833 к 7,4 справа, получая ответ: 7,4833. Все цифры данного ответа соответствуют точному значению квадратного корня из 56.
Вообще, всякий раз повторяя данный процесс, мы удваиваем количество точных цифр в ответе.
Разберем еще один пример.
Одним из упражнений на вычисления в уме в этой главе была задача на извлечение квадратного корня из 500. Продолжим вычислять в уме, но попробуем при этом увеличить точность ответа.
Ранее мы посчитали, что:
√500 = 22,5
Вместо того чтобы делить 500 на 20, теперь будем делить его на 22,5. Трудно ли это? Нет, если мы сначала дважды удвоим оба наших числа.
Удвоение 500 и 22,5 дает 1000 и 45. Повторное удвоение дает 2000 и 90.
Делим 2000 на 90, чтобы получить более точное приближение искомого корня. Чтобы разделить 2000 на 90, делим сначала на 10, а потом на 9.
2000: 10 = 200
200: 9 = 22,22
Теперь найдем среднее для 22,22 и 22,5.
22 перед десятичной запятой, очевидно, останется без изменения. Чтобы узнать, что будет с цифрами после запятой, найдем среднее для 50 и 22.
22 + 50 = 72
72: 2 = 36
Прибавим 0,36 к 22 и получим ответ, в котором все цифры соответствуют цифрам в точном значении корня.
22 + 0,36 = 22,36 ОТВЕТ
После некоторой практики все рассмотренные вычисления могут выполняться в уме. Так что тренируйтесь!
Глава 18
Вычисление квадратного корня
Существует простой способ вычисления точного значения квадратного корня из числа. Речь идет о процессе, который я называю перекрестным умножением.
Вот как он работает.
Перекрестное умножение
Чтобы выполнить перекрестное умножение однозначного числа, вы просто возводите его в квадрат:
32 = 3 х 3 = 9
Если же у числа две цифры, тогда вы перемножаете их между собой и удваиваете результат.
34 = 3 х 4 = 12
12 х 2 = 24
В случае трехзначного числа следует перемножить первую и третью цифры, удвоить результат, а затем прибавить к этому квадрат средней цифры. Например, выполнить перекрестное умножение числа 345 — это значит:
3 х 5 = 15
15 х 2 = 30
30 + 42 = 46
Общее правило перекрестного умножения числа с четным количеством цифр:
Умножьте первую цифру на последнюю, вторую — на предпоследнюю, третью — на цифру перед предпоследней и т. д., пока все цифры не будут перемножены. Затем сложите все полученные произведения и удвойте результат.
На практике вы складываете произведения одно за другим, а потом удваиваете полученную сумму.
Общее правило перекрестного умножения числа с нечетным количеством цифр:
Умножьте первую цифру на последнюю, вторую — на предпоследнюю, третью — на цифру перед предпоследней и т. д., пока не дойдете до средней цифры. Сложите все полученные произведения и удвойте результат. Прибавьте к нему квадрат средней цифры.
Следующие примеры служат иллюстрацией этого:
123 = 1 х 3 = 3, 3 х 2 = 6, 6 + 22 (4) = 10
1234 = 1 х 4 (4), + 2 х 3 (6) = 10, 10 х 2 = 20
12345 = 1 х 5 (5), +2 х 4 (8) = 13, 13 х 2 = 26, 26 + 32 (9) = 35
Использование перекрестного умножения для извлечения квадратного корня
Метод извлечения квадратного корня состоит в следующем.
Например:
√2809 =
Прежде всего разобьем цифры попарно. Каждой паре цифр будет соответствовать одна цифра в ответе.
Таким образом, квадратный корень будет иметь две цифры (в целой своей части, разумеется).
Во-вторых, оценим величину квадратного корня из числа, образованного из цифр первой пары. Квадратный корень из 28 приближаем числом 5 (5 х 5 = 25). Таким образом, 5 — это первая цифра ответа.
Удвоим первую цифру ответа (2 х 5 = 10) и запишем результат слева от числа. Данное число будет нашим делителем. Запишем 5 — первую цифру ответа — над цифрой 8 в первой паре цифр (28).
Записанное нами выглядит так:
На этом мы закончили работу над первой цифрой ответа.
Чтобы найти вторую цифру, возведем в квадрат первую цифру нашего ответа и вычтем результат из первой пары цифр исходного числа.
52 = 25
28 – 25 = 3
Число 3 — это наш остаток. Переносим остаток 3 к следующей цифре числа, из которого извлекаем корень. Это дает нам новое рабочее число 30.
Разделим наше рабочее число (30) на делитель (10). Получаем 3 — следующую цифру ответа. 30 делится на 10 без остатка, поэтому переносить нечего. 9 — новое рабочее число.
Наше решение теперь выглядит так:
И наконец, выполним перекрестное умножение с последней цифрой ответа.
32 = 9
Вычтем результат из нашего рабочего числа:
9 – 9 = 0
Остатка нет: 2809 является точным квадратом. Его квадратный корень равен 53.
10 √2809 = 53
Рассмотрим другой