Пытаясь разобраться в возникшей ситуации, многие ведущие математики вдруг задумались о проблемах и судьбе своей родной науки, и это беспокойство прекрасно передает высказывание одного из крупнейших немецких специалистов начала XX века: «Логика является гигиеной математической науки, позволяющей сохранять ее идеи здоровыми и сильными». Можно ли было ожидать, что математика в целом окажется столь же увечной и беззащитной, как геометрия?
Читатель может догадаться, что после работ Гёделя ответ оказался неутешительным для математики!
***
Возвращаясь к мыслителям и философам Древней Греции, напомним, что Аристотель создал дедуктивную логику в форме силлогизмов, т. е. утверждений типа: если все х имеют свойство у, а некое z относится к х, то z также обладает свойством;;. Один из самых известных силлогизмов применительно конкретно к Гёделю можно сформулировать в виде:
Все люди смертны (первая посылка).
Гёдель – человек (вторая посылка).
Гёдель – умрет (вывод).
(Российский читатель может вспомнить, что в повести Л. Н. Толстого «Смерть Ивана Ильича» с воспоминания об этом силлогизме главный герой начинает осознавать неотвратимость собственной смерти и размышлять о смысле жизни. – Прим. Перев)
Большинство людей рассуждают именно так, даже не вдумываясь в тонкости логики, что и является основой здравого смысла. Мы все понимаем, что логические размышления позволяют получать правильные выводы из правильных посылок, однако следует напомнить, что те же древние греки обнаружили один существенный недостаток дедуктивной логики, а именно: она «буксует» в некоторых довольно простых ситуациях (этот дефект является малозаметным и безвредным в обыденной речевой практике). Древнегреческие философы сформулировали и один из самых известных парадоксов такого типа: «Эпименид утверждает, что критяне лжецы». Фокус этой простой фразы состоял в том, что Эпименид сам был критянином, так что,если он прав, то критяне лгут и, следовательно, он… говорит правду и т. д. Не стоит ломать голову над этим высказыванием, поскольку оно действительно не может быть проанализировано логически. Другой, более современный вариант этого же парадокса выглядит следующим образом: «Назовем деревенским парикмахером человека, бреющего тех жителей деревни, которые не бреются сами. Кто бреет самого парикмахера?».
Знаменитый английский математик и философ Бертран Рассел (известный, кстати, своими чудачествами) долгое время занимался такими парадоксами и даже придумал им интересную форму, предложив написать на двух сторонах одного листа бумаги следующую фразу: «Утверждение, написанное на обороте этого листа, ошибочно» (лист бумаги с таким утверждением на обоеих сторонах можно переворачивать бесконечно). Позднее Рассел писал в автобиографии: «…конечно, взрослому человеку не стоило тратить время на такие тривиальные шутки, но что мне оставалось делать?» Рассел стремился продемонстрировать, что некоторые, весьма простые утверждения не могут быть оценены с точки зрения формальной логики.
В 1900 г. великий немецкий математик Давид Гильберт опубликовал обращение к коллегам, где перечислил 23 проблемы, от решения которых, по его мнению, зависело все будущее развитие этой науки. Основная и принципиальная позиция Гильберта сводилась к тому, что математика должна быть исчерпывающей (т. е. способной ответить на все связанные с ней вопросы) и внутренне согласованной наукой (т. е. в ней не должно быть утверждений, на которые можно одновременно дать и положительный, и отрицательный ответы). Упомянутые Расселом «тривиальные шутки» приводят нас к той же проблеме: можно ли утверждать, что математические рассуждения являются полностью и всегда справедливыми? В математике нет места никаким лжецам-критянам с их двусмысленными загадками, допускающими неоднозначные или странные ответы.
Гильберт выразил эту идею с предельной ясностью и четкостью: каждая конкретная математическая задача должна иметь ясное решение, которое должно содержать либо точный ответ на поставленный вопрос, либо строгое доказательство невозможности получения такого ответа». Иными словами, если несколько аксиом объединены в некую формальную математическую систему, то такая система обязана быть согласованной (в противном случае она теряет логический смысл).
Гильберта, разумеется, весьма беспокоила проблема возникновения «новых», странных геометрий (он включил ее в свой список под вторым номером), однако в целом великий математик был настроен достаточно оптимистично и разделял естественную для большинства людей уверенность в том, что на каждый математический вопрос рано или поздно может и должен быть получен четкий (положительный или отрицательный) ответ, независимо от степени сложности вопроса и связанных с ним разногласий.
Именно это кажущееся почти очевидным утверждение опроверг Гёдель своей так называемой «теоремой о неполноте» в статье под названием «О формально неразрешимых утверждениях Оснований математики и родственных систем». Позднее Пол Хоффман напишет в известной книге «Человек, который любил только числа. Математик Поль Эрдёш» о работе Гёделя следующий комментарий: «По предложенной Рихтером шкале значимости математических открытий Гёдель, безусловно, заслуживает самого высшего, десятого балла!».
Кстати, древнегреческий парадокс об уроженцах Крита (в математике и логике его называют парадоксом лжеца) можно упростить и выразить заявлением «Это утверждение неверно!», которое даже в этой сверхкраткой форме продолжает сохранять неразрешимое внутреннее противоречие. Сам Гёдель слегка изменил классическую фразу, придав ей более изящную и тонкую форму: «Это утверждение недоказуемо!» (если оно доказуемо, то не является истинным, и обратно, и т. д.).
Пользуясь медицинской терминологией, можно сказать, что Гёдель использовал в качестве скальпеля для вскрытия аксиоматики теории множеств так называемое «арифметическое утверждение G» (означающее в переводе на обычный, нематематический язык, что некоторое утверждение является недоказуемым) в сочетании с приемом его отображения. Гёдель перевел G-утверждения на язык арифметики и получил следующий замечательный результат: любая согласованная формальная математическая система, включающая в себя все правила арифметики, содержит в себе математический эквивалент G-утверждения и, следовательно, является несогласованной, т. е. в ней существуют утверждения, которые одновременно невозможно доказать или опровергнуть данным набором правил. Это открытие было сформулировано им в виде двух «теорем о неразрешимости», имеющих следующий вид:
1. Если аксиоматическая теория множеств является согласованной, то в ней существуют теоремы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
2. Не существует конструктивной процедуры, позволяющей доказать согласованность аксиоматической теории множеств.
Естественно, что используемый для доказательства математический аппарат был достаточно сложным, однако полученные результаты были точными и проверяемыми. Более того, Гёдель показал, что если в какую-либо арифметическую систему вводятся некие новые идеи, позволяющие сделать G-утверждения доказуемыми, то в новой, расширенной системе вновь возникнут новые, свои собственные G-утверждения!
Кроме того, Гёдель придал концепции «согласованной арифметической системы» точную математическую форму и показал, что ее нельзя строго обосновать, т. е. каждая такая система будет включать в себя некоторые истинные высказывания, которые не могут быть доказаны, и, следовательно, каждая такая система будет неполной.
***
Гильберт утверждал, что в его науке нет места неопределенности и «каждая математическая задача может быть решена чисто математическими приемами и рассуждениями… поскольку в математике нет места неясности, ignorabimus». Гёдель доказал, что Гильберт ошибался и ни одна, даже самая сложная математическая система не может быть согласованной. Математика оказалась гораздо сложнее языка, используемого для ее описания, точно так же, как человеческие опыт и жизнь постоянно оказываются более сложными и неоднозначными, чем языки, используемые людьми для их описания.
Один из крупнейших специалистов в теории чисел, Герман Вейль когда-то остроумно заметил, что «…Бог существует, поскольку математика явно непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку мы не можем доказать эту непротиворечивость». Гильберт был даже более последовательным и завещал, чтобы на его могильной плите было написано: «Мы должны знать и мы обретем знание».
Открытие Гёделя стало для абстрактной математики столь же волнующим, необычным и притягательным событием, как формулировка Гейзенбергом принципа неопределенности для квантовых частиц. На жизнь обычных людей это открытие не оказывает почти никакого воздействия хотя бы потому, что человек не способен выделять в речи «неопределенные» утверждения, играющие основную роль в построениях Гёделя, так что их использование остается редким и малоосмысленным в обыденной жизни.(В качестве примера можно привести популярное выражение «Нет правил без исключений». Это утверждение, примененное к самому себе, означает, что должно существовать хотя бы одно «исключительное» правило, не допускающее никаких исключений и т. д. – Прим. перев)