При некотором согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная R в формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число R называется радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число R при данном масштабе выражает определённый отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, который также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R, но радиус кривизны, как отрезок, остаётся неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R = 1. В геометрии Римана существуют сходные равенства:
(для произвольного треугольника) и
(для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число R называют радиусом кривизны плоскости (или пространства) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н. г. гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н. г. стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных. В евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких др. формул, выражающих линейные величины через угловые. При замене R на Ri
формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене R на Ri все метрические формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрический смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При R ® ¥ и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины R означает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы Н. г. переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличны от евклидовых.
Н. г. в плане дифференциальной геометрии. В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства (см. Дифференциальная геометрия ); в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты u, v, так что дифференциал ds дуги кривой, соответствующий дифференциалам du, dv координат, определяется равенством:
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 (7)
Пусть, в частности, в качестве координаты u произвольной точки М берётся длина перпендикуляра, опущенного из М на фиксированную прямую, а в качестве координаты v — расстояние от фиксированной точки О этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины u, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид:
а для плоскости Римана
R — та же постоянная, которая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну К = — 1/R 2 (как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну К = 1/R2 (как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет). При замене R на Ri метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При R = ¥ каждое из равенств (8) и (9) даёт
ds2 = du2 + dv2 ,
т. е. метрическую форму евклидовой плоскости.
Трёхмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле (см. Риманово пространство ) и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну (см. Риманова геометрия ). Как в двумерном, так и в трёхмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, т. е. возможность движения фигур в нём, причём с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную — 1/R2 , пространство Римана — положительную кривизну, равную 1/R 2 (R — радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.
Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии . Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя свойствами: оно полно (в смысле полноты метрического пространства ), топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологической эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны.
Н. г. в виде проективных моделей. Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты (x 1 , x 2 , x3 ) и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например
x1 2 + x2 2 + x3 2 = 0
Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу . Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются «прямыми». Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В , а В равна фигуре С , то А. равна С . В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок , где показано, что через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а ). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта.
Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 0. (10)
При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида.