Первый вопрос, с которого начинался список, славился издавна. Называлась задача просто – «Гравитационная задача n тел»[116]. У этой задачи богатая история: она была сформулирована еще в конце XVII века, когда Исаак Ньютон опубликовал законы движения и тяготения. Законы Ньютона прекрасно объясняли форму планетных орбит, и на первый взгляд казалось, будто с их помощью можно рассчитать движение любого набора тел, вовлеченных в гравитационное взаимодействие – и трех тел, и четырех, и произвольного числа n. Ведь все тела притягивают друг друга с силой, которую легко вывести из закона всемирного тяготения Ньютона. Знаешь начальные условия – следовательно, имеешь возможность выполнить все подсчеты с какой угодно точностью.
Рассчитать движение двух тел, например, Солнца и какой-нибудь одной планеты, было относительно просто, однако Ньютон быстро понял, что если имеешь дело с более сложной системой, получается совсем другая история. Как видно, великого Исаака очень сердило, что он не может найти способ решить уравнения, и он писал: «Если не ошибаюсь, рассмотреть все случаи движения одновременно и определить их по точным законам и при помощи простых вычислений – задача, которая превосходит возможности человеческого разума».
Ньютон был, как, впрочем, и всегда, совершенно прав. Да, ни несколько строчек алгебраических выкладок, ни даже интегральное исчисление не дают математической кривой, которая описывала бы гравитационное взаимодействие n тел. Как и утверждал великий ученый, задача n тел оставалась нерешенной – к вящей досаде физиков и математиков. Нужно было качественное математическое доказательство его слов – а может быть (все может быть), просто несколько более хитроумный подход к решению.
По правде говоря, за время, прошедшее между Ньютоном и Пуанкаре, был достигнут заметный прогресс и найдены довольно точные способы приближенного расчета орбитального движения планет. К концу XVIII века ученые Пьер-Симон Лаплас и Жозеф-Луи Лагранж разработали по набору математических инструментов, способных как минимум предсказать общую картину движения в системе из множества планет за тысячи, а может быть, и миллионы лет. Отчасти секрет был в сугубо технических методах решения. И Лаплас, и Лагранж понимали, что орбиты в системе из множества тел «квазипериодичны»: влияние одних планет на другие означает, что каждая из них будет описывать полные круги по орбите за не совсем одинаковые промежутки времени. И при помощи определенных математических трюков можно опереться на это качество и предсказать общие тенденции в орбитальном движении в системе.
Рис. 9. Наглядная иллюстрация того, как стремительно возрастает сложность системы из тел, вовлеченных в гравитационное взаимодействие. Вверху слева изображены два тела, которые притягивают друг друга и вращаются по орбитам. Ситуация стабильна и поддается расчетам. Однако если тел уже три (вверху справа), требуются 3 набора координат в трехмерном пространстве, 3 трехмерных вектора скорости и 6 трехмерных векторов силы. Четыре тела (внизу) – 4 набора координат, четыре вектора скорости и 12 векторов силы, и все трехмерное, и все действует одновременно. Неудивительно, что Ньютон оставил попытки искать алгебраическое решение этой задачи.
Главный недостаток этих методов состоял в том, что они не позволяли отслеживать каждый момент в движении системы, а, в сущности, вычисляли средние значения сил, с которыми планеты притягивают друг друга и нарушают орбиты друг друга от оборота к обороту. Это очень хитроумные методы, ими и сегодня пользуются, чтобы получить ответы на вопросы о поведении планетных систем в целом, особенно для краткосрочных прогнозов. В свое время эти методы считались также доказательством детерминистической природы гравитационных систем, которые виделись частью «заводной Вселенной», приводимой в движение законами Ньютона.
Однако, несмотря на внешний лоск, это всего-навсего приближенные вычисления, гениальные математические фокусы, которые дают ответы на некоторые вопросы, но не на все. И к концу XIX века становилось все яснее, что нельзя ни пренебрегать всеми силами, которые участвуют в формировании траектории планеты в будущем, ни упрощать их.
* * *
Так что не приходится удивляться, что уже ставший знаменитым Пуанкаре увидел объявление о конкурсе короля Оскара[117] и с радостью принялся за самую первую задачу, поскольку если бы он решил ее, то навсегда вошел бы в учебники истории. И довольно быстро достиг существенных успехов. Пуанкаре считал, что нашел математическое доказательство того, что можно определить стабильность гравитационной системы из трех тел. А главное, он претендовал на то, что способен рассчитать их движение с произвольной точностью. Казалось бы, что может быть прекраснее, и хотя задача была решена лишь для трех тел, этого хватило, чтобы произвести впечатление на жюри, так что приз оказался у Пуанкаре в кармане.
Но тут-то и начались осложнения. Победоносная статья, как и было обещано, открывала сборник «Acta Mathematica». Однако при редактировании статьи Пуанкаре начал понимать, что кое-что упустил – сделал чудовищную ошибку. Его решение задачи трех тел было неверным, не позволяло получить верный результат, и он был вынужден сообщить об этом редакции журнала. Пуанкаре упустил из виду один частный случай геометрического поведения математических функций, на которых строилось его доказательство.
К сожалению, к тому моменту, когда он сообщил об этом издателям, статья уже была напечатана и разослана по всему миру. Чтобы предотвратить катастрофу, все экземпляры отозвали, а Пуанкаре был вынужден оплатить убытки, счет за которые существенно превышал щедрый приз, совсем недавно полученный от короля Оскара. Бедняга Пуанкаре. Нечасто математические ошибки обходятся так дорого[118].
Однако в этой бочке дегтя была и ложка меда, хотя к банковскому счету Пуанкаре это не относилось. Когда он пришел в себя после такого унижения и сделал работу над ошибками, проделанный им анализ оказал заметное влияние на дальнейшее развитие математики. Пуанкаре доказал, что прямого ответа на гравитационную задачу n тел получить невозможно. Выражаясь языком математики, не существует аналитически интегрируемого решения общей задачи о движении трех тел, вовлеченных в гравитационное взаимодействие, а следовательно, то же верно и для любого числа тел больше трех.
Согласно Пуанкаре, если у тебя есть звезда, вокруг которой по орбитам вращаются две планеты, нет никакого способа точно рассчитать поведение этой системы в будущем (и прошлом) при помощи пера и бумаги. Если планет больше двух – то есть мы имеем дело с произвольной системой из n тел – задача становится еще более безнадежной. Исключений совсем немного, и это весьма затейливые частные случаи, когда, например, третье тело очень мало и его гравитационным воздействием можно пренебречь.
Это было смелое заявление, и новый математический подход Пуанкаре намекал на ту сторону существования Вселенной, которую мы только-только начали замечать под плотными покровами классической физики, а полностью обнажили лишь в следующем, ХХ столетии. Это свойство мироздания называется хаосом, и к нему я скоро вернусь.
Как выяснилось, когда Пуанкаре доказал, что задача n тел не имеет решения, то сделал огромный шаг вперед на пути прогресса науки, однако ученым еще предстояло обнаружить, что здесь таятся и вовсе диковинные подробности. Подобраться к сути задачи было отнюдь не просто, и прошло почти сто лет, прежде чем результат удалось уточнить. В 1990 годы[119] очень красивая работа китайского математика по имени Кидон (Дон) Ван показала, что задача n тел на самом деле может быть решена алгебраическими методами. Однако с одной оговоркой – правда, очень серьезной: для этого нужно было найти сумму ряда из нескольких миллионов членов. Иначе говоря, на самом деле можно написать алгебраическую формулу, которая расскажет все о поведении n тел, однако на это уйдет вечность. К тому же, пока все сложишь, придется сделать столько округлений, что накопившаяся погрешность лишит ответ всякого смысла.
* * *
Тайная природа планетных систем, которая со времен Пуанкаре стала гораздо более явной, дает нам очень важную подсказку. Уравнения, которые описывают движения планет, не способны учесть и проконтролировать крошечные неопределенности в вычислениях, мелкие погрешности, которые впоследствии, накопившись, подрывают нашу способность что-либо спрогнозировать. Сама природа полна отклонений, и переплетение взаимодействий в планетной системе делает ее крайне чувствительной к подобным переменам. Микроскопическая пылинка там и сям способна в самом буквальном смысле слова повлиять на движение светил – дайте только срок.