чтобы стать первым человеком, доказавшим, что 1 + 1 = 2.
У Рассела было одинокое детство. Родители умерли, и его растила суровая бабушка-пресвитерианка в большом уединенном доме, где мальчику не с кем было дружить и играть. В одиннадцать лет старший брат познакомил его с евклидовой геометрией, и Бертран влюбился в математику. В отсутствие других детей он играл с числами.
Но кое-чего он не мог уразуметь. Многие математические правила базируются на утверждениях, которые выглядят верными, но принимаются без доказательств. Эти утверждения, именуемые аксиомами, включают в себя такие, например, законы: «Для любых двух точек в пространстве существует прямая, которая через них проходит», или «Результат сложения любого натурального числа с единицей – также натуральное число». Из набора аксиом логически вытекает остальная математика – если мы их принимаем. Большинство математиков эта ситуация вполне устраивала, но одинокому вундеркинду вроде Рассела было очевидно, что здесь чего-то не хватало. Бертран оказался мальчиком из «Нового платья короля», удивившимся, почему все кругом не замечают очевидного. Разумеется, математике необходимы более прочные основания, чем бытовые трюизмы. Покинув дом и поступив в университет, Рассел затеял огромную научную работу, чтобы задать эти основания, применив только логику. Если возможна абсолютно ясная и непреложная система, то это и будет основанная на логике математика.
В реальном мире не возникает сомнений, что, если к яблоку добавить еще одно яблоко, получится два яблока. Или что если вы съели два яйца по-шотландски из пяти, то у вас осталось три. Вы сами можете проверить эти утверждения при ближайшем походе в супермаркет. Однако математика абстрагирует числа от предметов реального мира, используя символы и логические формулы. Она говорит не о двух яблоках, а о некоей сущности, обозначенной символом «2». И не о трех яйцах, а о числе 3. В реальном мире такие предметы, как 2 и 3, найти невозможно даже в самом хорошо укомплектованном супермаркете. Вы увидите чернильную закорючку на ценнике, которая символически обозначает эти числа, но сами числа – мнимые сущности и не имеют физического воплощения. Таким образом, равенство 1 + 1 = 2 показывает, что одна мнимая сущность вместе с другой мнимой сущностью есть то же самое, что третья, отличная от них мнимая сущность. И если помнить, что мнимые сущности – это то, что мы сами выдумываем, равенство 1 + 1 = 2 вполне можно признать произвольным. Рассел намеревался путем применения логики неопровержимо доказать, что равенство 1 + 1 = 2 – не произвольное утверждение, а объективная истина.
И это ему почти удалось.
Его метод состоял в том, чтобы дать математическим понятиям четкие определения, применив известную в логике систему классов, которые в наше время известны как множества. Множество – это совокупность неких единиц. Представьте, что Расселу нужно дать логическую дефиницию числу, например 5, и что у него есть корабль практически неограниченной вместимости, вроде ТАРДИС[38] Доктора Кто. И Рассел может летать на нем по всему свету, собирая примеры пяти похожих объектов: пять коров, пять карандашей, пять красных книг. Всякий раз, встретив подобное множество, Рассел помещает его в ТАРДИС и движется дальше, продолжая поиски. Если он справится с задачей по сбору всех воплощений пяти в реальном мире, то у него появится возможность очертить нематериальное понятие пяти. Пять, согласно такой логике, это символ, представляющий все вещи, собранные им в волшебном багажнике.
Но труднее будет вывести такое же определение для числа ноль. Вряд ли Рассел смог бы ездить по свету и загружать свою ТАРДИС примерами нуля яблок или нуля карандашей. Тогда он определил число ноль как множество предметов, которые не идентичны самим себе. Значит, нужно набивать в ТАРДИС предметы, которые не то же самое, что они сами, а поскольку таких предметов на свете нет, Рассел в итоге вернулся бы из своей экспедиции с пустым багажником. По законам логики, нет вещи, которая была бы не тождественна самой себе, так что это вполне истинное представление понятия «ничего». В математическом смысле Рассел определил ноль как множество всех нулевых множеств.
Если бы Рассел смог, применив такой же подход, основанный на множествах, получить четкие дефиниции числа 1 и действия «прибавить 1», тогда его цель – найти способ непреложно доказать, что 1 + 1 = 2, – стала бы наконец досягаемой. Но была одна загвоздка.
Загвоздка, ныне известная как парадокс Рассела, связана со множеством множеств, которые не включают в себя себя. Включает ли в себя это множество самого себя? По законам логики, если включает, то не включает, но если не включает, то включает. Тот же случай, что и в знаменитом античном парадоксе, где критянин Эпименид заявляет, что все критяне лжецы.
На первый взгляд может показаться, что этот парадокс не особо-то и мешает. Но существенно другое. Беда в том, что этот парадокс вообще существует: ведь целью перестройки математики на незыблемой логической основе было исключить любые парадоксы.
Рассел вернулся к начальным принципам и, чтобы решить проблему, предложил серию новых определений, доказательств и «костылей». Но всякий раз, когда казалось, что башня математической логики устояла, возникала новая неувязка. Как будто парадоксы были неизбежной частью любой законченной системы, какую только ни предложат математики. Увы, так оно и оказалось.
В 1931 году австрийский математик Курт Гёдель опубликовал теорему о неполноте, сегодня носящую его имя. Он доказывал, что любые математические построения, основанные на аксиомах и достаточно сложные, чтобы нести какую-то пользу, – либо неполны, либо недоказуемы как таковые. Делал это Гёдель с помощью формулы, которая логично и последовательно декларировала собственную недоказуемость в рамках данной системы. Если система завершена и непротиворечива, то эта формула немедленно превращается в парадокс, а никакая завершенная и последовательная система не допускает парадоксов. Теорема Гёделя необыкновенно изящна и бесконечно возмутительна. Можете себе представить, как математикам хотелось расквасить Гёделю нос.
Это не означало, что математику пора упразднить, но означало, что математическим системам всегда приходится опираться на что-то внешнее. Эйнштейн снял противоречие физики путем выхода за пределы трехмерного пространства – на следующий уровень, который он назвал пространством-временем. Так и математикам пришлось искать более широкую, внешнюю систему.
Если бы каждое направление мысли должно было предложить омфал, который может служить несомненным маяком определенности, здравый смысл предложил бы на эту роль математику. Но это видение продержалось только до начала 1930-х. В XX веке здравый смысл и определенность не пользовались особым успехом.
Для людей, психологически нуждавшихся в определенности, XX столетие стало кошмаром.
Главным чудовищем в этом кошмаре выступила область физики,