Квантовая гидродинамика
До прихода Фейнмана в мир конденсированных сред никому и в голову не приходило использовать квантовую механику, чтобы напрямую вычислить общие свойства перехода, при котором гелий становится сверхтекучим. Однако все знали, что квантовая механика должна была играть главную роль в этом феномене. И в самом деле, квантовая теория позволяет объяснить, почему гелий является единственным элементом, который не застывает даже при самых низких температурах. Согласно классической физике, атомы и молекулы не могут находиться в движении, если температура опускается до абсолютного нуля (-273,15° С). Тогда прекращается любое движение. Но если мы рассматриваем бесконечно малые величины, это становится невозможным ввиду принципа неопределенности Гейзенберга. В квантовой механике система не может находиться в какой-то определенной точке и иметь нулевую энергию. Как следствие, даже при абсолютном нуле атомы гелия колеблются, пусть и совсем чуть-чуть. Сила притяжения, которая появляется между двумя атомами гелия, очень слаба. Настолько слаба, что существующей чрезвычайно малой энергии в состоянии, близком к абсолютному нулю, достаточно, чтобы помешать им объединиться и образовать прочную структуру.
В 1938 году Фриц Лондон предположил, что переход в сверхтекучесть могло проиллюстрировать явление, описанное Эйнштейном и индийцем Шатьендранатом Бозе. При нормальных температурах атомы газа занимают весь объем сосуда, который их содержит. Но при особо низких температурах, около миллионной доли градуса выше абсолютного нуля, атомы теряют свою индивидуальную специфику (больше нельзя их различить) и ведут себя, как если бы речь шла об одном единственном «суператоме»: это конденсат Бозе - Эйнштейна (КБЭ), то есть состояние вещества после твердой фазы. В 1995 году группа ученых из Объединенного института лабораторной астрофизики в городе Боулдер, штат Колорадо, смогла остудить две тысячи атомов рубидия до температуры 20 нанокельвинов на десять секунд, впервые получив, таким образом, конденсат Бозе - Эйнштейна. В этом конденсате все атомы находятся в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне. И как следствие, поведение атомов соответствует правилам квантовой механики, а не классической физики. Проблема в том, что КБЭ может быть получен лишь в случае с идеальным газом, то есть газом, молекулы которого не взаимодействуют (исключая неизбежные столкновения между ними). Что же касается гелия, то на его атомы действуют пусть и слабые, но силы притяжения. Тогда возможно ли, чтобы переход к КБЭ происходил в гелии несмотря ни на что? Фейнман был полон решимости разобраться в необычном поведении гелия.
Путешествие в этот мир крайнего холода ученый начал с применения интегралов по траекториям для каждой частицы, держа при этом в уме два принципа. Первый из них гласит, что атомы гелия являются бозонами, то есть частицами с целым значением спина. Это означает, что свойства системы не изменятся, если в ней изменить порядок пар атомов гелия. Именно свойство играет фундаментальную роль в применении Фейнманом его метода. Траектории, преобладающие над интегралом пути (то есть минимизирующие действие), в которых индивидуальные частицы находят свое начальное положение, должны рассматриваться как равные тем, в которых конечное расположение кажется эквивалентным начальному (близкое тому, в котором несколько частиц изменили порядок своих положений). Второй принцип относится к движению атома гелия по отношению к атомам из своего окружения. Давайте вспомним, что действие, относящееся к любой траектории, связано с суммой разностей между кинетической и потенциальной энергиями во всех точках пути. Если атом перемещается медленно, его соседи будут стараться убраться с его пути и приобретут кинетическую энергию, которая войдет в действие. В любом случае их кинетическая энергия зависит от их скорости перемещения, связанной со скоростью первого атома гелия. В результате это перемещение приведет к изменению массы рассматриваемого атома гелия. Фейнман доказал, что траекториями, вносящими наибольший вклад в сумму путей, являются те, в которых каждая частица перемещается как свободная, но с немного большей массой.
Ричард Фейнман в октябре 1965 года.
Индийский физик Шатьендранат Бозе, который открыл вместе с Эйнштейном конденсат Бозе — Эйнштейна.
Фейнман (слева) ведет дискуссию относительно задачи на доске, примерно 1950 год.
Бесполезно переживать во время решения задачи. Зато когда она решена, наступает момент беспокойства.
Ричард Фейнман
Взаимодействие атомов гелия является тогда составной частью происходящего и может быть проигнорировано в расчетах. Этот подход делал из гелия, по сути, идеальный газ Бозе - Эйнштейна, и переход в КБЭ был возможен. Вместе с тем Фейнман доказал, что этот подход к описанию поведения гелия также годится и для любой другой системы частиц, сильно взаимодействующих между собой. Его работа была больше чем простым описанием физического феномена:
«Этот принцип представляет ценность для других областей физики, например для ядерной физики. Мы стоим перед фактом, приводящим в замешательство: одиночные ядра иногда ведут себя как независимые частицы, несмотря на сильные взаимодействия. Доводы, приведенные для гелия, также годятся и для других случаев».
Так он сформулировал свои мысли в первой статье, которую опубликовал по данной теме. Его целью было понять мир мезонов, где его диаграммы казались совершенно непригодными. Фейнман предчувствовал, что для того чтобы понять свойства мезонов в запутанном экспериментальном контексте, он должен исследовать свойства электронов и атомов в плотных материях. Они поднимали схожую проблему, но в отличие от предыдущего случая экспериментальный контекст был гораздо яснее.
Ротоны и турбулентные потоки
Фейнман показал, что переход гелия в сверхтекучее состояние можно интерпретировать как переход в КБЭ, но он не решил этой задачи. Наш обычный мир защищен от квантовых парадоксов. Но как тогда объяснить, почему гелий, став сверхтекучим, продолжает оставаться таким в макромире?
В эту эпоху ответ был исключительно феноменологическим. Иными словами, физики внимательно изучили сверхтекучий гелий, затем, исходя из полученных данных, смогли определить микроскопические свойства системы, которые воспроизводили экспериментальные результаты. На первый взгляд может показаться, что мы располагаем полным физическим объяснением, но это не так: разумеется, возможно понять микроскопические свойства из опытов, но объяснить, почему природа имеет такие свойства — это уже совсем иное дело. И именно это было целью Фейнмана.
Лев Ландау предложил хорошую феноменологическую модель. Согласно ему, устойчивость сверхтекучести объясняется отсутствием любого другого доступного КБЭ состояния со слабой энергией, волнения которой могли бы разрушить ее квантовое состояние. Без этой новой ситуации индивидуальные частицы не могут изменить свое движение благодаря какому-либо столкновению. Тогда сверхтекучесть продолжает равномерно перемещаться, как электрон по орбите вокруг атома. В обычной жидкости молекулы сталкиваются друг с другом, задевают примеси, края сосуда... Эти взаимодействия изменяют состояние движения атомов, растрачивая таким образом энергию, что замедляет жидкость.
Фейнман представил следующий аргумент: ввиду отталкивания на короткое расстояние, которое существует между атомами гелия, фундаментальное состояние слабой энергии приводит к тому, что жидкость имеет, в основном, постоянную плотность. Как объяснить в этом случае, что нет другого состояния слабой энергии? Вспомним, что в квантовой механике любая частица может рассматриваться в качестве волны вероятности, энергия которой зависит от длины волны (расстояние между двумя последовательными вершинами). Таким образом, волновые функции, которые сильно видоизменяются в ограниченном пространстве, обладают большей энергией, чем другие. Этот феномен объясняется принципом неопределенности: если одна волна переходит от одного своего самого высокого значения к самому низкому на короткой дистанции, мы получаем с большей точностью расположение частицы, что увеличивает ее момент и ее энергию. Стало быть, решение кроется в квантовом состоянии слабой энергии с волновой функцией без слишком многочисленных вибраций и в немного ограниченном пространстве.
Фейнман рассуждал таким образом. Представим, что мы перемещаем атом из точки А в точку В на длинном расстоянии. Если новая конфигурация должна иметь единую плотность, тогда необходимо преобразование других атомов, и один атом должен перемещаться, чтобы занять оставшееся пустое место. Перемещая очень отдаленный атом, мы будем пытаться поверить, что выходящее состояние должно сильно отличаться от начального. Но об этом можно забыть, когда речь идет о бозонах: даже при взаимозаменяемости очень удаленных атомов гелия мы сохраняем такую же конфигурацию, так как в действительности мы обмениваем идентичные бозоны (рисунок 1). Только волновая функция будет изменена, если перемещение из А соответствует хотя бы половине средней дистанции между соседними частицами. В этом случае новая конфигурация будет отличаться от начальной (рисунок 2).