VII. Логические задачи
ПРЕАМБУЛА
Многие из задач в этой главе содержат так называемые условные высказывания, то есть сложные высказывания вида "Если P истинно, то Q истинно", где P и Q - некоторые высказывания. Прежде чем приступить к решению задач этого типа, необходимо выяснить, какие неоднозначности могут встретиться в истолковании условных высказываний. С одними фактами согласятся все, по поводу других могут возникнуть значительные разногласия.
Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим следующее высказывание:
Если Джон виновен, то его жена виновна. (1)
Всякий согласится с тем, что если Джон виновен и если высказывание (1) истинно, то жена Джона также виновна.
Предположим теперь, что жена Джона виновна, но не известно, виновен Джон или не виновен. Как, по-вашему, будет ли в этом случае высказывание (1) истинно или ложно? Не считаете ли вы, что независимо от того, виновен Джон или не виновен, его жена виновна? Может быть, вы предпочитаете выразить свою мысль иначе: если Джон виновен, то его жена виновна, и если Джон не виновен, то его жена виновна?
Примеры такого словоупотребления мы находим в литературе.
В рассказе Киплинга "Рики-тики-тави" кобра говорит перепуганному семейству: "Если вы двинетесь с места, я укушу, и если вы не двинетесь с места, я укушу". В переводе на более привычный язык это означает просто-напросто: "Я укушу". О наставнике секты дзен Токусане легенда рассказывает, что на все вопросы (и "невопросы") он отвечал ударами своего посоха. Ему принадлежит знаменитое изречение: "Тридцать ударов, если тебе есть что сказать, тридцать ударов, если тебе нечего сказать".
Итак, мы с трогательным единодушием заключаем, что если высказывание Q истинно, то условное высказывание "Если P, то Q" (так же как и условное высказывание "Если не P, то Q") истинно.
Наиболее спорный вопрос состоит в том, истинно или ложно условное высказывание "Если P, то Q", когда оба высказывания P и Q ложны. Обратимся к нашему примеру.
Можно ли считать высказывание (1) истинным, если и Джон и его жена не виновны? К этому жизненно важному вопросу мы вскоре вернемся.
С интересующим, нас вопросом тесно связан другой. Мы уже пришли к единому мнению относительно того, если Джон виновен, а его жена не виновна, то высказывание (1) должно быть ложным. Верно ли обратное утверждение? Иначе говоря, следует ли из ложности высказывания (1), что Джон должен быть виновен, а его жена невиновна? Ту же мысль можно сформулировать и по-другому: правильно ли утверждать, что высказывание (1) ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена не виновна? Если связку "если ... , то ... " понимать так, как это делают большинство логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения. Заключается оно в том, что если нам заданы любые два высказывания P и Q, то сложное высказывание "Если P, то Q" означает: "Не верно, что P истинно, а Q ложно" (не больше и не меньше). В частности, принятое соглашение означает, что если Джон и его жена не виновны, то высказывание (1) следует считать истинным.
Единственный случай, когда высказывание (1) ложно, может представиться, если Джон виновен, а его жена не виновна.
Это условие заведомо не выполняется, если Джон и его жена не виновны. Иначе говоря, если Джон и его жена не виновны, то заведомо не верно, что Джон виновен, а его жена не виновна, поэтому высказывание (1) не может быть истинным.
Следующий пример еще более причудлив:
Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2)
Высказывание (2) означает всего-навсего: "Не верно, что Конфуций родился в Техасе, и я не Дракула". Таким образом, высказывание (2) следует считать истинным.
К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула.
Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным.
Следовательно, оно должно быть истинным.
Рассмотрим теперь любые два высказывания P, Q. Составим из них сложное высказывание.
Если P, то Q. (3)
Будем обозначать его P - Q (эту сокращенную запись принято читать либо как "если P, то Q", либо как "из P следует Q", либо "P влечет за собой Q", либо даже P имплицирует Q"). Слово "следует" (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле: не верно, что P истинно и Q ложно.
Итак, относительно высказывания P - Q мы располагаем следующей информацией.
Факт 1. Если P ложно, то P - Q автоматически истинно.
Факт 2. Если Q истинно, то P - Q автоматически истинно.
Факт 3. Высказывание P - Q может быть ложно в том и только в том случае, если P истинно, а Q ложно.
Факт 1 иногда формулируют иначе: "Из ложного высказывания следует что угодно". Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: "Истинное высказывание следует из чего угодно".
Таблица истинности
Если заданы два высказывания P, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) P и Q истинны; 2) P истинно, Q ложно; 3) P ложно, Q истинно; 4) P и Q ложны.
В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание P - Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких - ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.
Случай 1: P и Q истинны. Так как Q истинно, то P - Q истинно (факт 2).
Случай 2: P истинно, Q ложно. Тогда P - Q ложно (факт 3).
Случай 3: P ложно, Q истинно. Тогда P - Q истинно (факт 1 или факт 2).
Случай 4: P ложно, Q ложно. Тогда P - Q истинно (факт 1).
Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:
P Q P - Q
1 И И И 2 И Л Л 3 Л И И 4 Л Л И
Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда P истинно и Q истинно, высказывание P - Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если P истинно, Q ложно, то P - Q истинно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке - что если P ложно и Q ложно, то P Q истинно.
Заметим, что P - Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.
Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания "Если P, то Q", достаточно, приняв высказывание P за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки P следует заключение Q, то высказывание "Если , то Q" истинно.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт
4.
А. ПРИМЕНЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ К РЫЦАРЯМ И ЛЖЕЦАМ
109.
О каждом из двух людей A и B известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что A высказывает следующее утверждение: "Если я рыцарь, то B - -- рыцарь".
Можно ли определить, кто такие A и B: кто из них рыцарь и кто лжец?
110.
У A спрашивают: "Вы рыцарь?" Тот отвечает: "Если я рыцарь, то съем собственную шляпу".
Докажите, что A придется съесть свою шляпу.
111.
A утверждает: "Если я рыцарь, то дважды два - четыре".
Кто такой A: рыцарь или лжец?
112.
A заявляет: "Если я рыцарь, то дважды два - пять". Кто, по-вашему, A: рыцарь или лжец?
113.
Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: "Если B - рыцарь, то я лжец".
Кто A и кто B?
114.
Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, A и B выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:
A: Если X виновен, то Y виновен.
B: Либо X не виновен, либо Y виновен.
Можно ли утверждать, что A и B однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)
115.
У трех обитателей A, B и C острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:
A: B - рыцарь.
B: Если A - рыцарь, то C - рыцарь.
Можно ли определить, кто из A, B и C рыцарь и кто лжец?
Б. ЛЮБОВЬ И ЛОГИКА
116.
Предположим, что следующие два высказывания истинны:
1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.
2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.
Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?
117.
Предположим, что у меня спрашивают: "Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?" Я отвечаю: "Если это верно, то я люблю Бетти".
Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?