— Ну, идемте, — шепнул им Мнимий Радиксович. — Тут ведь идет настолько тонкая работа, что даже наше безмолвное присутствие может ей помешать. Пойдемте к экрану. Он находится в зале Трех Великих Знаков.
Они обошли балкончик и подошли к тяжелым, литым бронзовым дверям, на каждой из которых среди множества узорных украшений были изображены буквы е, π, i. Гости проникли в самую верхнюю часть башни. Это был громадный сумрачный зал со сводчатым потолком. В глубине стояла огромная пустая рама, а неподалеку от двери — несколько кресел.
— Присаживайтесь! Сейчас я приведу экран в действие. А когда он начнет работать, то вы простым движением руки сможете его поворачивать, куда вам будет удобно.
Свет в зале потух. Громадная пустая рама заполнилась мягким светом. Это и был экран.
— Сейчас, — крикнул откуда-то из глубины Мнимий Радиксович, — сейчас увидите! А когда увидите, тогда уже управляйте сами. Правой рукой. Это очень просто.
Желтоватое сияние на громадном экране начало местами бледнеть, местами разгораться, и тут Илюша стал постепенно разбирать на нем несколько неопределенные формы того колоссального существа, от которого они недавно так поспешно ускакали. Понемногу эти формы становились яснее. Илюша
— 84 —
двинул рукой влево, и изображение переместилось. Тут он ясно увидел тот левый край этого колосса, который он только что видел своими собственными глазами. Теперь ему показалось, что это край платья. Он начал двигать изображение в другую сторону. Край платья, легко колтыхаясь, все двигался и двигался, а конца не видно было. Наконец Илюша заметил какую-то неясную тень громадных размеров, которая мелькнула на экране, напомнив своей формой ногу, обутую в красивую туфлю странного, очень старинного фасона. Затем, все время передвигая экран, чтобы наконец дойти до правого края фигуры, Илюша рассмотрел и другую ногу, которая тоже мелькнула и быстро исчезла. Наконец Илюша добрался и до правого края фигуры.
— Каково же расстояние от одного края до другого? — робко спросил Илюша.
— В точности это вам никто сказать не может, — услыхал он в ответ.
Поднимая экран, Илюша наконец разобрал кое-как, что перед ним, по-видимому, необозримо громадная фигура женщины в старинном платье; он еле-еле мог рассмотреть ее до пояса. Далее шли облака и тучи, сквозь которые ничего не было видно.
— Это какая-то невероятная великанша! — воскликнул Илюша.
— 85 —
— Так ведь она так и называется, — отвечал ему Мнимий — Перед вами Великая Теорема Ферма, одного из величайших математиков мира, жившего в семнадцатом веке. Скоро пройдет три столетия, как он высказал ее, и до сих пор наука еще не нашла ее доказательства, а с другой стороны, и не смогла показать, что эта теорема несправедлива. Проблема эта до такой степени громадна и необъятна, что, как вы сами могли убедиться, нет возможности осмотреть ее целиком. Даже наши исключительно мощные аппараты могут показать вам только часть того, что есть на самом деле. Идемте в музей.
И все они спустились на лифте и вошли в широкую комнату, где по стенам висели различные чертежи и формулы.
— Ну вот, — сказал проводник наших героев, — номер первый. Позвольте вам представить. Вот сама теорема. Рассказать ее — минутное дело. Надо доказать, что если взять вот такую сумму:
an + bn = cn,
причем показатель n равняется любому целому положительному числу больше двух, то невозможно отыскать три таких целых положительных числа, которые удовлетворяли бы этому равенству. Другими словами, только сумма двух квадратов может быть тоже квадратом. Это так называемые вавилонские, или пифагоровы, числа, без сомнения вам известные.
— Да-да… — сказал несколько растерянно Илюша.
— Ну! — произнес Мнимий Радиксович, видя его затруднение. — Ну, например, три в квадрате плюс четыре в квадрате — это будет пять в квадрате. Девять плюс шестнадцать будет двадцать пять.
— А! — вспомнил Илюша. — Это по пифагоровой теореме! Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы в целых числах. Так ведь это очень просто!
— Разумеется, — отвечал Мнимий, — это несложно. Но если сумма двух квадратов может быть квадратом, то уж сумма двух кубов не может быть кубом. И вообще ни одна степень, кроме второй, не годится. Это еще никому не удавалось опровергнуть. Наоборот, чем дальше идут наши работы, тем больше мы убеждаемся, что это справедливо. Но дело в том, что надо доказать, что это так. Доказать не для отдельного случая, а вообще, то есть для любого случая. И вот до сих пор, несмотря на все труды, это не удавалось. Заметьте, в постановке задачи ничего трудного нет, это любому грамотному человеку можно рассказать. А доказать, что эта задача не решается, все-таки пока еще невозможно.
Комплексный человечек перешел к другой формуле.
— 86 —
— Ну вот, позвольте теперь дать вам некоторые указания о{5} пифагоровых числах. То есть о сумме квадратов. Начнем с того, что мы будем рассматривать всегда три таких числа, чтобы никакие два из них не имели общих делителей. Нам ведь нет смысла рассматривать равенства, вроде вот такого:
62 + 82 = 102,
потому что такое равенство можно сократить на 22, и тогда мы придем к тому, с чего начали, то есть к равенству
32 + 42 = 52.
А с другой стороны, поскольку это сумма, то если какая-нибудь пара чисел делится на некоторое число, то и третье на него делится. Следовательно, нам нет смысла рассматривать такие случаи. Ясно?
— Ясно, — ответил Илюша.
— Прекрасно, — отвечал терпеливый лектор. — Теперь далее. Вы видите, что если взять «три» и «четыре», то одно из этих чисел четное, а другое — нечетное. Может ли быть иначе? Очевидно, нет. Потому что если бы оба эти числа были четные, то у них был бы общий делитель «два», а мы только что выяснили, что это нам не подходит. Теперь: могут ли оба эти числа быть нечетными? Нет, потому что тогда сумма их квадратов должна была бы быть четным числом. Это очень просто проверить. Возьмем два нечетных числа, возведем их порознь в квадрат, а эти квадраты сложим:
(2m + 1) 2 + (2n + 1) 2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1 = 4(m2 + n2) + 4(m + n) + 2 = 2[2(m2 + n2 + 2(m + n) + 1].
Ясно, что наша сумма есть четное число. Однако если квадрат какого-нибудь числа есть число четное, то само число и подавно четное. Если же это так, то наша сумма должна делиться без остатка на четыре, ибо всякое четное число можно написать в виде 2n, откуда квадрат его есть 4n2, и он, очевидно, делится на четыре. Попробуем теперь разделить на четыре нашу сумму квадратов двух нечетных чисел:
[4(m2 + n2) + 4(m + n) + 2]/4 = (m2 + n2) + (m + n) + 2/4.
Ясно, что эта сумма на четыре не делится, и мы получаем и остатке «два». Следовательно, наше предположение ведет к противоречию. И два числа в правой части равенства не могут
— 87 —
быть оба нечетными. А так как мы видели, что они не могут быть и оба четными, то ясно, что одно из них четное, а другое нечетное. Вы с этим согласны?
— Согласен, — отвечал внимательно слушавший Илюша.
— Теперь очевидно, что третье число должно быть также нечетным, ибо квадрат четного числа есть четное число, а квадрат нечетного — нечетное. Ясно, что их сумма опять будет числом нечетным. Положим теперь для определенности, что z (сумма) будет нечетным числом, х (первое число) тоже нечетным, а у (второе) — четным. Тогда можно написать, что
y2 = z2 — x2 = (z — x)(z + x)
Отсюда ясно, что выражения (z — х) и (z + x) представляют собой снова четные числа, ибо они суть разности двух нечетных чисел. Следовательно, можно положить:
z + х = 2m; z — х = 2n,
а отсюда
z = m + n; х = m — n.