Это уравнение верно всегда — независимо от того, излучает электрон или не излучает. Оно просто отражает известное равенство центростремительной и притягивающей сил.
Если электрон теряет энергию на излучение (по законам электродинамики), то он упадет на ядро, как спутник при торможении в атмосфере. Но если существуют особые — стационарные — орбиты, на которых он не подчиняется законам электродинамики и потому не излучает, то должны существовать также дополнительные условия, которые выделяют эти орбиты из набора всех возможных.
Как появляются эти условия, легче всего показать, продолжив нашу аналогию со спутником.
У кругового движения, кроме радиуса орбиты r и скорости v движения по ней, есть еще одна характеристика — момент количества движения l, или, коротко, орбитальный момент l. Он равен произведению массы m на скорость v и на радиус орбиты r, то есть l = m v r, и для спутника может принимать произвольные значения в зависимости от величины r и v.
Условие стационарных орбит
Бор утверждал: электрон в атоме отличается от спутника тем, что его орбитальный момент l не может быть произвольным. — он равен целому кратному от величины ħ = h/2π (это обозначение предложил один из создателей квантовой механики, Поль Дирак)
mvr = n ħ.
Это и есть то дополнительное условие Бора, которое выделяет стационарные орбиты (единственно допустимые в атоме) из бесконечного числа мыслимых. А поскольку при таком выделении основную роль играет квант действия h, то и весь процесс назвали квантованием.
Из предыдущих двух условий Бор легко получил значения энергии Еn радиусов rn стационарных орбит:
rn = (ħ2)/(m e2) n2; Еn = [-(m e4)/(2 ħ2)] • (1/n2).
Стационарные орбиты (а следовательно, и уровни энергии) нумеруются целыми числами n или k, которые пробегают бесконечный ряд значений: 1, 2, 3… При переходе с уровня n на уровень k электрон излучает энергию ΔЕ = Еk — Еn, а частота излучения, которое при этом возникает, определяется по формуле Эйнштейна;
ν = ΔЕ/h = (Еk — Еn)/(2πħ)
Если мы наблюдаем излучение, которое возникает при переходах электрона со всевозможных уровней k на какой-то определенный уровень п, то мы увидим не просто набор спектральных линий, а серию. Например, если n = 2, а k = 3, 4, 5, 6… то мы увидим серию Бальмера. Отсюда сразу же следует знаменитая формула Бора для частоты излучения атома водорода:
ν = [(me4)/(4πħ3)] (1/n2-1/k2).
Что из нее следует?
Прежде всего она очень напоминает формулу Ридберга для атома водорода, которую тот нашел эмпирически задолго до Бора и о которой мы подробно рассказали в предыдущей главе. Если формула Бора верна, то из нее можно вычислить постоянную Ридберга R.
R = (me4)/(4 πcħ3).
Вычислили. И действительно, ее значение совпало с тем, которое давно было известно из спектроскопических измерений.
Это был первый успех теории Бора, и он произвел впечатление чуда.
Но это еще не все. Из теории Бора следовало, что радиус атома водорода в основном (невозбужденном) состоянии (n=1) равен
r1 = ħ2/me2 = 0,53 10-8см = 0,53 Ǻ
Это означает, что размеры атомов (≈ 10-8см), вычисленные по его формуле, совпадали с предсказаниями кинетической теории материи.
И наконец, теория Бора объяснила: как свойства линейчатого спектра связаны с внутренним строением атома. Интуитивно эту связь чувствовали всегда. Но только Бору впервые удалось выразить ее математически. Оказалось, что искомую связь осуществляет постоянная Планка h.
Это было неожиданно. Действительно, квант действия h возник в теории теплового излучения и никаким очевидным образом не был связан ни с атомами, ни с лучами, которые эти атомы испускают. И тем не менее именно он позволил вычислить абсолютные размеры атома и предсказать частоту света, излучаемого им. Угадать эту связь Бору, как и многим до него, помогла глубокая вера в единство природы.
Постулаты Бора (как и всякие постулаты) нельзя обосновывать логически или вывести из более простых. Они остаются произвольными творениями человеческого разума до тех пор, пока опыт не подтвердит следствий, которые из них вытекают. Тогда на их основе развиваются теории, а наиболее удачные из теорий называют законами природы.
Мы ограничимся только этими тремя следствиями теории Бора — на самом деле их значительно больше, и все они демонстрируют непонятную силу непонятных постулатов.
Раздумья Бора
Конечно, Бор пришел к ним несколько другим путем, чем мы с вами сейчас: когда человек впервые поднимается на незнакомую вершину, трудно ожидать, что он идет самым коротким путем. Только взойдя на пик, он видит, как можно было покорить его проще.
ПОСЛЕ БОРА
Несмотря на необычность постулатов Бора, его теория нашла довольно быстрое признание и достаточно много талантливых и сильных последователей. Если бы потребовалось определить отношение к ней физиков в те годы, то, пожалуй, пришлось бы назвать чувство облегчения, чувство освобождения от того постоянного напряжения, в котором все они до сих пор находились, пытаясь удержать в памяти разрозненные факты и хоть как-то связать концы с концами. Теперь все атомные явления, естественно, группировались вокруг непонятной, но простой модели; часть из них блестяще ею объяснялась, а другая требовала дальнейшего развития модели.
В частности, теперь очень просто можно было объяснить опыт Кирхгофа и Бунзена с парами натрия.
Действительно, пока луч от раскаленного тела не прошел через пары натрия, атомы которого находятся в основном состоянии, он содержит все длины волн. Проходя через пары, луч переводит атом натрия из основного состояния в первое возбуждение. На это затрачивается энергия кванта E = hν, частота которого ν как раз и совпадает с частотой линии D натрия. Поэтому прошедший свет уже не содержит лучей с этой частотой, и на шкале спектрографа мы видим сплошной спектр, перерезанный в желтой части темной линией D.
В обратном процессе, когда атомы натрия переходят из возбужденного состояния в основное, они излучают свет с той же частотой ν, которую прежде поглотили, то есть ту же линию D, но теперь уже ярко-желтую.
Несмотря на все успехи теории Бора, физики вначале принимали ее скорее как удобную модель, но не очень верили в реальность такой энергетической лестницы в атоме. Это сомнение разрешили Джеймс Франк (1882–1964) и Густав Герц (род. 1887) (племянник знаменитого Генриха Герца) в том же 1913 году. Как и всякая ясная идея, теория Бора не только объясняла старые факты, но также подсказывала пути для своей проверки.
Арнольд фон Зоммерфельд (1868–1951) — замечательный физик и блестящий педагог — был одним из первых в Европе, кто сразу же не только поверил в постулаты Бора, но и развил их дальше, «…следуя, как когда-то Кеплер при изучении планетной системы, внутреннему чувству гармонии». Он рассуждал так: если атом подобен солнечной системе, то электрон в такой системе может вращаться не только по окружности, как в модели Бора, но и по эллипсам, причем ядро должно находиться в одном из фокусов этих эллипсов.
Зоммерфельд
Эллипсы с одинаковой большой полуосью принадлежат одному и тому же значению главного квантового числа n, так как энергии электрона на таких орбитах равны между собой (Зоммерфельд знал доказательство, а нам придется поверить в это). Однако эллипсы различаются по степени сплющенности, которая зависит от орбитального момента. Вполне в духе идей Бора Зоммерфельд предположил, что при заданном n эллипсы могут быть сплющены не произвольным образом, а только так, чтобы орбитальное квантовое число l (которое их различает) принимало целые значения l = 0,1,2…. n — 1, то есть число допустимых эллипсов не превышает числа n — номер стационарного состояния.
Орбитали
Бор и Зоммерфельд показали даже нечто большее: если учесть теорию относительности Эйнштейна, то окажется, что энергия электрона различна на всех эллипсах, а потому уровни энергии в атоме необходимо нумеровать двумя квантовыми числами: n и l. По той же причине спектральные линии, возникающие при переходах электрона между уровнями, с разными n, должны иметь тонкую структуру, то есть расщепляться на несколько компонент. По просьбе Зоммерфельда Фридрих Пашен проверил и подтвердил это следствие теории на примере линии гелия λ = 4686 Ǻ, которая соответствует переходу с уровня n = 4 на уровень n = 3 (с четвертого уровня на третий). Внимательно рассмотрев фотографию спектра гелия, он обнаружил, что линия в действительности состоит из тринадцати тесно расположенных линий.