Для лага k больше 1 EViews рекурсивно вычисляет частную автокорреляцию по следующей формуле:
где rk — коэффициент автокорреляции для лага k.
Этот алгоритм вычисления коэффициента частной корреляции, предложенный Боксом и Дженкинсом в 1976 г., представляет собой аппроксимацию. Чтобы найти его более точную оценку, следует решить следующее уравнение регрессии, с помощью которого мы найдем коэффициент частной корреляции ρk для лага k:
где еt — остатки.
Судя по полученной коррелограмме (см. табл. 3.1), уровень автокорреляции (АС) между исходными уровнями временного ряда USDollar постоянно убывает начиная с 1-го лага. В свою очередь уровень частной корреляции (РАС) резко снижается уже после 1-го лага, а после 2-го лага осциллирующим образом стремится к нулю (т. е. колеблется вокруг нуля).
В том случае, когда мы хотим построить модель авторегрессионного процесса AR(/?), для определения оптимального числа р мы должны использовать частную автокорреляционную функцию. При этом следует исходить из следующего критерия: оптимальное число р в уравнении авторегрессии должно быть меньше лага, в котором частная автокорреляционная функция начинает стремиться к нулю. Судя по коррелограмме, помещенной в табл. 3.1, коэффициент частной автокорреляции для лага один месяц (или лага 1-го порядка) равен 0,99, а для лага два месяца (или лага 2-го порядка) -0,25. Однако для 3-го порядка коэффициент частной автокорреляции равен -0,014, причем начиная с этого лага величина этого коэффициента колеблется вокруг нулевого уровня. Следовательно, можно сделать вывод, что для прогнозирования курса доллара с помощью модели авторегрессии необходимо использовать модель AR(2), которая примет следующий вид:
В свою очередь при идентификации модели ARMA(/? q) в качестве лага р выбирается лаг, после которого начинает убывать частная автокорреляционная функция, а в качестве лага q — лаг, после которого начинает убывать автокорреляционная функция. Исходя из табл. 3.1 легко прийти к выводу, что коэффициент автокорреляции начинает убывать уже с лага 2-го порядка. Аналогичный вывод можно сделать и относительно коэффициента частной автокорреляции. Поэтому для прогнозирования курса доллара с помощью модели авторегрессии со скользящими средними в остатках необходимо использовать модель ARMA(1, 1), которая примет следующий вид:
Два последних столбца в табл. 3.1 показывают соответственно Q-статистику Люнга — Бокса (Q-Stat) и ее значимость (Prob.) для каждого лага. Следует иметь в виду, что Q-статистика для лага k является тестовой статистикой при нулевой гипотезе об отсутствии автокорреляции между динамикой курса доллара временного ряда t и динамикой курса доллара временного ряда t- k.
При этом Q-статистика Люнга — Бокса для лага k-го порядка находится по следующей формуле:
где Т — число наблюдений;
rk — автокорреляция k-го порядка;
m — число проверяемых лагов.
Например, для лага 1-го порядка формула (3.12) имеет следующее значение:
Следует иметь в виду, что в том случае, когда в табл. 3.1 значимость (Prob.) 0-статистики будет больше 0,05, то нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции между уровнями ряда с лагом А:-го порядка нельзя считать опровергнутой с 95 %-ным уровнем надежности. Если значимость 0-статистики будет больше 0,01, но меньше 0,05, то нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции между уровнями ряда с лагом А:-го порядка нельзя считать опровергнутой с 99 %-ным уровнем надежности. Судя по коррелограмме исходных уровней временного ряда USDollar (см. табл. 3.1), значимость Q-статистики для всех 36 лагов равна нулю, поэтому нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках отклоняется для всех лагов.
3.4. Решение в Excel уравнения авторегрессии 2-го порядка AR(2)
После того как с помощью соответствующей коррелограммы (см. табл. 3.1) мы пришли к выводу, что для получения оптимального прогноза по курсу доллара следует построить модель авторегрессии 2-го порядка AR(2), следующим нашим шагом должно стать нахождение ее параметров. Правда, для этого развернутое уравнение авторегрессии AR(2), представленное в формуле (3.10), необходимо немного упростить. С этой целью из формулы следует убрать остатки, которые появятся только после решения этого уравнения. Кроме того, чтобы убрать у коэффициентов факторных переменных подстрочные индексы (цифры), обозначим их различными буквами. В результате формула (3.10) приобретет более удобный для решения вид:
Мы уже научились решать уравнения регрессии в Excel (см. алгоритм действий № 3 «Как решить уравнение регрессии в Excel»), поэтому, используя этот алгоритм, можно получить соответствующее уравнение авторегрессии, которое, как известно, является частным случаем уравнения регрессии и отличается от последнего лишь наличием лаговых факторных переменных. А для загрузки и первичной обработки данных по ежемесячному курсу доллара необходимо воспользоваться алгоритмом действий № 1 «Как строить диаграммы в Microsoft Excel» — Шаг 1 «Поиск данных, их загрузка и первичная обработка в Excel».
Далее создадим в Excel три столбца: во-первых, с зависимой переменной USDollar — ежемесячный курс доллара США; во-вторых, с двумя независимыми переменными USDollar(-l) — курс доллара США с лагом в один месяц и USDollar(-2) — курс доллара США с лагом в два месяца. При этом загруженная база данных по американской валюте охватывает период с июня 1992 г. по апрель 2010 г.
Далее, согласно алгоритму действий № 3 «Как решить уравнение регрессии в Excel», установим в появившемся окне РЕГРЕССИЯ следующие опции (рис. 3.2): ВХОДНОЙ ИНТЕРВАЛ Y ($В$1:$В$214); ВХОДНОЙ ИНТЕРВАЛ X ($C$1:$D$214); УРОВЕНЬ НАДЕЖНОСТИ (99); ВЫХОДНОЙ ИНТЕРВАЛ ($L$2).
В результате решения в Excel уравнения авторегрессии AR(2) со свободным членом мы получим следующий ВЫВОД ИТОГОВ, представленный в виде табл. 3.2. Возьмем из этой таблицы значения коэффициентов (см. столбец «Коэффициенты») и, подставив их в формулу (3.13), получим следующее уравнение авторегрессии (с округлением):
USDollar = 0,2260 + 1,2980 USDollar(-l) — 0,3047 USDollar(-2),
где USDollar — зависимая переменная, курс доллара США;
USDollar(-l) — независимая переменная, курс доллара США с лагом в один месяц;