Вот что предлагала статья, полученная Эйнштейном в апреле 1919 г. Спрашивается, почему Эйнштейн её не выбросил? Мы не видим другое пространственное измерение — нам никогда не приходилось бесцельно плутать из-за того, что улица, номер дома и номер этажа почему-то недостаточны, чтобы определить адрес, — так почему же стоит рассматривать такую странную идею? А вот почему. Калуца обнаружил, что уравнения общей теории относительности Эйнштейна могут быть легко и красиво математически расширены на Вселенную, которая имеет на одно пространственное измерение больше. Калуца предпринял это расширение и обнаружил, что версия общей теории относительности с большим числом измерений не только включает исходные уравнения гравитации Эйнштейна, но вследствие дополнительного пространственного измерения также и дополнительные уравнения. Когда Калуца изучил эти дополнительные уравнения, он открыл нечто чрезвычайное: дополнительные уравнения были не чем иным, как уравнениями, которые в XIX в. открыл Максвелл для описания электромагнитного поля! Представив Вселенную с одним новым пространственным измерением, Калуца предложил решение проблемы, которую Эйнштейн рассматривал как одну из самых важных проблем всей физики. Калуца нашёл схему, которая объединила уравнения общей теории относительности Эйнштейна с уравнениями электромагнетизма Максвелла. Вот почему Эйнштейн не выбросил статью Калуцы.
Интуитивно, вы можете представить предложение Калуцы следующим образом. В общей теории относительности Эйнштейн заставил двигаться пространство и время. Эйнштейн понял, что искривление и растяжение пространства и времени есть геометрическое воплощение гравитационной силы. В статье Калуцы предполагалось, что геометрическое богатство пространства и времени ещё больше. В то время как Эйнштейн нашёл, что гравитационные поля могут быть описаны как деформации и рябь в трёх обычных пространственных и одном времённом измерении, Калуца обнаружил, что во Вселенной с дополнительным пространственным измерением могли бы быть дополнительные деформации и неровности. И эти деформации и неровности, как показал его анализ, могли бы в точности подойти для описания электромагнитного поля. В руках Калуцы геометрический подход к пониманию Вселенной самого Эйнштейна продемонстрировал достаточную силу, чтобы объединить гравитацию и электромагнетизм.
Конечно, проблема осталась. Хотя математика работала, но как не было, так и до сих пор нет свидетельств существования пространственного измерения за пределами трёх, о которых мы все знаем. Так что же, открытие Калуцы было всего лишь курьёзом, или оно имеет какое-то отношение к нашей Вселенной? Калуца очень доверял теории — он, например, учился плавать путём изучения учебника по плаванию и только лишь затем путём плавания в море, — но идея о невидимом пространственном измерении, независимо от того, насколько неотразима теория, всё же звучит слишком вызывающе. Затем в 1926 г. шведский физик Оскар Клейн добавил к идее Калуцы новый поворот, который может объяснить, где скрываются дополнительные измерения.
Скрытые измерения
Чтобы понять идею Клейна, представим Филиппа Пети[245], гуляющего по длинному покрытому резиной канату, туго растянутому между горами Эверест и Лхоцзе. Разглядываемый с расстояния многих километров, как на рис. 12.5, канат выглядит как одномерный объект вроде линии — объект, который имеет протяжённость только вдоль своей длины. Если мы узнаем, что вдоль каната навстречу Филиппу ползёт крохотный червячок, мы будем изо всех сил кричать Филиппу, чтобы он остановился, чтобы избежать беды. Конечно, после короткого размышления мы сообразим, что канат имеет дополнительную поверхность, кроме измерения влево/вправо, которое мы можем непосредственно воспринимать. Хотя её трудно различить невооружённым взглядом с большого расстояния, но поверхность каната имеет второе измерение: измерение по и против часовой стрелки, измерение, которое «закручено» вокруг каната. С помощью скромного телескопа это циклическое измерение становится видимым, и мы видим, что червяк может двигаться не только по длинному, развёрнутому измерению влево/вправо, но также и по короткому, «скрученному» направлению по/против часовой стрелки. Так что в каждой точке каната червяк имеет два независимых направления, по которым он может двигаться (это то, что мы имеем в виду, когда мы говорим, что поверхность каната двумерна[246]), поэтому он может безопасно освободить дорогу Филиппу или уползая от него вперёд, или отползая вдоль маленького циклического измерения вбок и давая возможность Филиппу пройти мимо.
Рис. 12.5. На удалении туго натянутый канат или провод выглядит одномерным, хотя в достаточно сильный телескоп его второе, скрученное измерение становится видимым
На примере каната видно, что измерения — независимые направления, в которых что-либо может двигаться, — выступают в двух качественно различных вариантах. Они могут быть большими и легко видимыми, как размерность поверхности каната влево/вправо, или они могут быть маленькими и более трудно различимыми, как размерность по/против часовой стрелки, которая закручена вокруг поверхности каната. В этом примере не является большой проблемой увидеть маленький круговой ободок на поверхности каната. Всё, что нам нужно было, это подходящий увеличительный инструмент. Но, как вы можете представить, чем меньше скрученное измерение, тем труднее его будет обнаружить. Одно дело, на расстоянии нескольких километров обнаружить циклическое измерение поверхности каната; но совсем другое — обнаружить циклическое измерение чего-то столь тонкого, как зубная нить или тончайшее нервное волокно.
Вклад Клейна заключался в предположении, согласно которому то, что справедливо для объектов внутри Вселенной, может быть справедливо и для ткани самой Вселенной. А именно, точно так же, как поверхность каната имеет как большое, так и маленькое измерение, так и ткань пространства может иметь большие и маленькие размерности. Может оказаться, что три известных всем нам измерения — влево/вправо, назад/вперёд, вверх/вниз — подобны горизонтальной протяжённости каната; они являются большими размерностями, легко видимой разновидностью измерений. Но точно так же, как поверхность каната имеет маленькое дополнительное циклическое измерение, может быть и ткань пространства также имеет настолько маленькое дополнительное циклическое измерение, что ни у кого нет достаточно мощного увеличительного устройства, чтобы обнаружить его существование. Вследствие его ничтожного размера, утверждал Клейн, это измерение будет скрытым.
Насколько мало маленькое? Математический анализ Клейна, в котором использовались некоторые свойства квантовой механики вместе с оригинальным предложением Калуцы, показал, что радиус дополнительного циклического пространственного измерения, вероятно, будет порядка планковской длины{247}, что определённо слишком мало, чтобы он был доступен для экспериментального обнаружения (самое совершенное современное оборудование не позволяет рассмотреть что-либо меньшее, чем одна тысячная размера атомного ядра, а это не дотягивает до планковской длины более миллиона миллиардов раз). Однако для воображаемого червяка планковского размера это крошечное скрученное циклическое измерение обеспечит новое направление, в котором он может странствовать так же свободно, как обычный червяк использует циклическое измерение каната на рис. 12.5. Конечно, точно так же, как обычный червяк обнаружит, что в направлении по часовой стрелке вокруг каната есть не так-то много пространства для исследования, прежде чем он наткнётся на свой собственный хвост и окажется в стартовой точке, червячок планковской длины, ползущий вдоль скрученного измерения пространства, также будет постоянно возвращаться назад к началу пути. Но, не взирая на длину путешествия, которое он может предпринять, скрученное измерение предоставляло бы направление, в котором крохотный червячок мог бы двигаться так же легко, как он это делает в трёх привычных развёрнутых измерениях.
Чтобы интуитивно почувствовать, на что это похоже, отметим, что то, что мы называем скрученным измерением каната, — направление по/против часовой стрелки, — существует в каждой точке вдоль его протяжённого измерения. Обычный червяк может сделать круг по замкнутому циклическому измерению в любой точке вдоль длины каната, так что поверхность каната может быть описана как имеющая одно протяжённое измерение, к каждой точке которого прикреплено крохотное цикличное измерение, как на рис. 12.6. Этот образ полезно иметь в уме, поскольку он также применим к предложению Клейна о том, где прячется дополнительное пространственное измерение Калуцы.